image
image | text
string | source_file
string | page_number
int64 |
|---|---|---|---|
áááááŊááĸáááá ááģáááááˇááá¸áĄáļ
# áááˇáááˇááááļ
## áááááˇáááááá
## ááááļáááḠáĄáĄ
áááááģáááááááļáááá
áááášáááááļááááááģáááááˇáá
ááááááļá
áĸááļá áĄá¤á¨ áá áļááˇáḠááááááááááá ááááááá
|
[11] Math - High
| 1
|
|
| | |
|---|---|
| **áááááááááļáááˇáááá** | |
| ááá áĸááģá áááļááḠ| ááááááḠáḠáááŧáá¸áááá |
| ááá áąá áá¸áááļ | ááááááḠáĸááģá ááģááḠ|
| ááá á
áļáá áááļááļ | ááá áááģá ááŊ |
| ááá ááŧ áááá | |
| **áĸáááááļááĸááááá** | ááááááḠááļá ááļáá¸á |
| **ááˇá
áˇááááá** | ááá ááá ááļáᡠ|
| **áĸááááááááá** | ááá áĄáģá ááģááá | ááá áááá ááŊá |
| **áĸááááá
ááļááááá** | ááá ááá áááļáḠ|
| **áĸáááá¯áááá** | ááá áĸááģá áášááááááģá |
| **áááááááááļáááˇááˇááá** | ááá áá á áá | ááá ááģá áḠ|
| | ááá áááŧ áá | ááá á áá á
ááááļ |
ááļááááŊáááļááĸááģááááļááąáááááááģáááááááļááḠáááááŊááĸáááá ááģááá ááˇááá¸áĄáļ ááļááááááļáááá áŖá á ᥠáĸáá.áááá. á
áģááááááḠáŖá áá ááááŧ ááááļá áĸá á ᨠáážáááá¸áááážááááļáááá
ááļáááļááļááá á
**á áļáááá
ááááááááá
ááá**
áááááļááˇáááᡠŠ
**áááášáááááļááááááģáááááˇáá
ááááááļá**
áááááģááááážááá¸áĄáĸ ááááļááĸá áĸá á
áááŊááĸáĨ á á á á
áááļáá
ISBN 9-789-995-000-691
|
[11] Math - High
| 2
|
|
## áĸáļáááááááļ
ááááá
áááˇáááˇááááļáááááˇááááááááááļáááḠ11 ááŊáááļááááááŧá áááááˇááááļáĸááḠááááá¸áááˇááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧááááááááááˇááĸááģááááááááļáá¸á áĸááģáááááááá¸áááááļááá ááááááá¸áááĸáá ááááŧááļá áááá¸áááááááááģáááááˇá
ááˇááááˇá
áááááááģáááá á ááˇáááááááááážááážááááááˇáááˇááááļáááááˇááááááááááŧáááááááˇáááˇááááļáááááˇáááŧáááááļááážáááá¸ááááááááááá á
ááļááááá
áááááááá
ááááģáááááá
ááá ááļáááááááááŧá
ááļáááááá á
- ááááááá¸ááŊáá ááļááááááļáááĸááá¸áááááģááááá
áááļááááļáá
- áááášáááļáááááááá¸ááŊáá áááážáá
áááá¸á§ááļá áááááááģááá¸áááļáááááá
- ááļáááá áļáááááááˇáááááˇáááááļááááááášáá
áááááášáááˇááá
- áá
á
áģááááááááááááŧááá¸ááŊáá ááļáááááááááááášáááááááááááļáááąááááˇáááá
áá
áļáááŧááĸááá¸áááááļááááááŊá
- ááááááá¸ááŊáá ááļáááá áļááááˇáááá áļááááááŊááááááļáááąááááˇááááĸááģáááááážáááá¸ááááášáá
áááááášá
- áá
á
áģááááááááááááá
ááá ááļáááááááááļáááááááášáááˇáááļáá
áááážáááá áļáááááááļáááąááááˇááááááááááááļáá á
ááááá
ááˇááááļáááááļáááļáá
áŧáááŊááḠ:
- áááááááŧ áĸáááááááŧáááááļáááļáááááááŊááááááááááá
- áááááááŧ áĸáááááááŧáááááļáááļáááááááááááááŧáááááá
ááˇááááļááá
- áááááááááļáááļáááááááááááļáááŊáááááŊáááˇááˇáááááˇááááááááááá á
áážáááá¸áąááááááá
ááá ááļáááááááĸááááážá áážáááááģááášááááá
áļááááŊáááļááááļáááˇááááááˇáááááááĸáááááááĸááá¸ááááļáááááááááŧ áĸáááááááŧ ááˇáááááˇáááˇááááĸááááááážááááļááááááá
áááˇáááˇááááļáááááˇáááááááááááááááá¸áá¸áááļá á
**áááááááááļáááˇáááá**
|
[11] Math - High
| 3
|
|
# ááááá¸áĸááááá
## áááˇáááˇááááļáááááˇáááááá
| | ááááá |
| :--- | :--- |
| **ááááŧááḠ1 : áááá¸áááˇááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ** | 1 |
| 1. ááááŧáááŊáááááá¸ááááááá | 2 |
| 2. ááááļááááááááŊáááááá¸á | 16 |
| 3. ááˇá
áļááĸááģááļáááŊá | 24 |
| **ááááŧááḠ2 : áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧááááááááááˇááĸááģááááááááļáá¸á** | 35 |
| 1. áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá | 36 |
| 2. áĸááģááááááááļáá¸á | 46 |
| **ááááŧááḠ3 : ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá** | 57 |
| 1. ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá | 58 |
| **ááááŧááḠ4 : ááááááá¸áááĸááá** | 73 |
| 1. ááááááá¸áááĸááá | 74 |
| **ááááŧááḠ5 : áá¸áá¸áááˇááááá¸áá** | 103 |
| 1. áĸááģáááááááááá¸ááá
ááááááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļá | 104 |
| **ááááŧááḠ6 : ááááŧááļá** | 117 |
| 1. ááááŧááļáááļááááááááá | 118 |
| **ááááŧááḠ7 : á
áááŊáááģáááááˇá
** | 135 |
| 1. á
áááŊáááģáááááˇá
áááááááá¸ááááˇá | 136 |
| 2. á
áááŊáááģáááááˇá
áááááááááá¸áááááļááá | 144 |
| 3. áááááááģááḠn ááˇááĢááḠn ááá
áááŊáááģáááááˇá
| 164 |
| 4. áĸááģááááááá
áááŊáááģáááááˇá
ááááģááááá¸ááļááá | 174 |
| **ááááŧááḠ8 : áááˇá
áááááááģáááá ** | 189 |
| 1. áááˇá
áááááááģáááá | 190 |
| 2. ááá¸ááļááááááļááááˇáááá¸ááļááááááááááģáááá | 216 |
| **á
áááážáááááŧá** | 235 |
| **áááļááģáááá** | 247 |
|
[11] Math - High
| 4
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
# ááááŧá 1
# áááá¸áááˇááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
![pyramids.png: Photo of the great pyramids of Giza]
- **ááááŧáááŊáááááá¸ááááááá**
- **ááááļááááááááŊááááááá¸á**
- **ááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ**
ááļáááˇááááļááááá¸ááááááļááąáááááˇáááˇááááļááļááááááļáááļááá¸áá
áááážááĄážááá¸ááŊááááááá
ááŊááááá ááļááááááááŧáááŊááááááá¸ááĸáļá
áąáááááááááļáááŧáááļááļááááĸááģáááááááá¸áááááļáááááˇááĸááģááááááááļáá¸áááˇááááášááááááģááááááááĸáļá
áąááááááááļááļáááŧááááááááá e ááˇá Ī ááááá á
$$
e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} + \dots
$$
$$
\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \dots
$$
1
|
[11] Math - High
| 5
|
|
## ááááááḠ1 ááááŧáááŊáááááá¸ááááááá
### 1. ááááááááļááááŧá
á
ááááááááá¸ááááááá ááááģááĸáļá
áááážááŧáááááááááŧáááááááá¸áááááááá áŦááááá¸ááááá¸ááļáááááááááļááááŧáááļááļááĄážá ááááģááááá¸áááááááŧááááážááˇáá¸áááááááá
ááļáááááááááááááá¸á á
#### áááááģáááá
- ááááļááááŧáááŊááááááá¸á
- á
áááááážááˇááˇááááááááļ â áááááļááááááŧáááááááá¸á
- áááááááŊáḠn ááļáááááááá¸áááááļáá 1 ááˇáááááļáá 2
#### á§ááļá ááá 1
á
ááááááááŧá $S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$ á
áááĸáļá
ááááļááááŧááááááááááážááááļá
$(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ ááááąáá k ááááááááḠ1 ááá n
$2^3 - 1^3 = 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1$
$3^3 - 2^3 = 3 \times 2^2 + 3 \times 2 + 1$
$4^3 - 3^3 = 3 \times 3^2 + 3 \times 3 + 1$
...
$n^3 - (n-1)^3 = 3 \times (n-1)^2 + 3 \times (n-1) + 1$
$(n+1)^3 - n^3 = 3 \times n^2 + 3 \times n + 1$
ááŧááĸáááááˇááĸááá ááááļá
$(n+1)^3 - 1^3 = 3 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) + 3 \times (1+2+3+\dots+n) + (1+1+1+\dots+1)$
$= 3 \times S + 3 \times \frac{n(n+1)}{2} + n$ á
ááááļ S ááááļá $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ á
#### á§ááļá ááá 2
á
ááááááááŧá $S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)}$
áááĸáļá
ááááļááááŧááááááááááážááááļá
$\frac{1}{k \cdot (k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ááááąáá k ááááááááḠ1 ááá n
2
|
[11] Math - High
| 6
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
...
$\frac{1}{(n-1) \cdot n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$
$\frac{1}{n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
ááŧááĸáááááˇááĸááá ááááļá $S = 1 - \frac{1}{n+1}$ á
á áááģááá $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$ á
#### ááá áļááááááŧ
ááááļááááŧá $S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3$ á
**á
áááážá**
áááĸáļá
ááááļááááŧááááááááááážááááļá
$(k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$ ááááąáá k ááááááááḠ1 ááá n
$2^4 - 1^4 = 4 \times 1^3 + 6 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1$
$3^4 - 2^4 = 4 \times 2^3 + 6 \times 2^2 + 4 \times 2 + 1$
$4^4 - 3^4 = 4 \times 3^3 + 6 \times 3^2 + 4 \times 3 + 1$
...
$n^4 - (n-1)^4 = 4 \times (n-1)^3 + 6 \times (n-1)^2 + 4 \times (n-1) + 1$
$(n+1)^4 - n^4 = 4 \times n^3 + 6 \times n^2 + 4 \times n + 1$
ááŧááĸáááááˇááĸááá ááááļá
$(n+1)^4 - 1^4 = 4 \times (1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3) + 6 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$
$+ 4 \times (1+2+3+\dots+n) + (1+1+1+\dots+1)$
$= 4S + 6 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) + 4 \times (1+2+3+\dots+n) + (1+1+1+\dots+1)$
ááááļ S ááááļá $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ á
#### áááááˇáááááˇ
ááááļ $S = 12^3 + 13^3 + 14^3 + \dots + 50^3$ á
ááááļ $S = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}$ á
3
|
[11] Math - High
| 7
|
|
### 2. ááááļááááŧáááļáááááļáááááŧ
á
ááááááááá¸ááááááļáááŊááļá
áááŊáááá áááĸáļá
ááááļááááŧáááļááļáááļáááááááááááļáááááŧ á
$1 = 1 = 1^2$
$1+3 = 4 = 2^2$
$1+3+5 = 9 = 3^2$
$1+3+5+7 = 16 = 4^2$
á áááģááá $1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$ á
#### ááá áļááááááŧ
ááááļááááŧá n ááŊááá
áááŊáááŧ $S = 2+4+6+\dots+2n$ á
**á
áááážá**
$2 = 2 = 1 \times 2$
$2+4 = 6 = 2 \times 3$
$2+4+6 = 12 = 3 \times 4$
$2+4+6+8 = 20 = 4 \times 5$
á áááģááá $2+4+6+\dots+2n = n \cdot (n+1)$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááąááááááļáááááŧááááááá¸áááļáááááá á
$1 = 1$
$1+7 = 8$
$1+7+19 = 27$
$1+7+19+37 = 64$
$1+7+19+37+61 = 125$
ááááļááááŧáááááááá¸áááááááááļá 10 ááŊ á
4
|
[11] Math - High
| 8
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
### 3. ááˇááˇááááááááļ â áááááļááááááŧáááááááá¸á
#### 3.1 áááááļá â
ááááģáááļááááááááááŧáááŊááááááá¸á $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$ áááááážááˇááˇááááááááļ â áĸáļáááļ áááˇá
áááļ áááááļááááļáááááŧá n ááŊááááááá¸á á áááááááááááá $\sum_{k=1}^{n} U_k = U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n$ á ááááģáááá k ááááááááḠ1, 2, 3, ... áá áŧáááá n á
**á§ááļá ááá**
$1+2+3+\dots+n = \sum_{k=1}^{n} k$
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2$ á
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááááŧáááļááááááááááááážááˇááˇááááááááļ â :
á. $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3$
á. $2+4+6+8+\dots+100$
á. $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{50}$
**á
áááážá**
á. $1^3+2^3+3^3+\dots+n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3$ á
á. $2+4+6+8+\dots+100 = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + 2 \times 50$
ááááŧáááááá¸ááááááļáááŊááŧáá
2n á ážá n ááááááááḠ1 ááá 50
ááááļá $2+4+6+8+\dots+100 = \sum_{n=1}^{50} 2n$ á
á. $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{50}$ ááááŧáááá n ááááááááḠ2 ááá 50 á
ááŊááŧáá
ááááááá¸á $\frac{(-1)^n}{n}$ á
ááááļá $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{50} = \sum_{n=2}^{50} \frac{(-1)^n}{n}$ á
5
|
[11] Math - High
| 9
|
|
#### ááá áļááááááŧ 2
ááááááááááááŊááļáááĸááááááááŧááááááˇááááážááˇááˇááááááááļ â
á. $\sum_{k=1}^{6} 2$
á. $\sum_{n=2}^{5} (2n+1)$
á. $\sum_{j=1}^{5} j(j+1)$ á
**á
áááážá**
á. $\sum_{k=1}^{6} 2 = 2+2+2+2+2+2$ á
á. $\sum_{n=2}^{5} (2n+1) = 5+7+9+11$ á
á. $\sum_{j=1}^{5} j(j+1) = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 6$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááááŧáááļááááááááááááážááˇááˇááááááááļ â :
á. $2+5+8+\dots+(3n-1)$
á. $3+6+12+\dots+3(2)^{n-1}$
á. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{100}$ á
6
|
[11] Math - High
| 10
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
#### 3.2 ááááŧáááļáááááááááŧá
ááļáááááá á
- á. $\sum_{k=1}^{n} c = nc$
- á. $\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k-b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k$
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + \sum_{k=1}^{n} b_k^2$ á
##### áááááļááááááļáá
- á. $\sum_{k=1}^{n} c = c+c+c+\dots+c = nc$ á
- á. $\sum_{k=1}^{n} ca_k = ca_1+ca_2+ca_3+\dots+ca_n = c(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n) = c \sum_{k=1}^{n} a_k$ á
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k) = (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\dots+(a_n+b_n)$
$= (a_1+a_2+\dots+a_n) + (b_1+b_2+\dots+b_n) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$ á
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k-b_k) = (a_1-b_1)+(a_2-b_2)+(a_3-b_3)+\dots+(a_n-b_n)$
$= (a_1+a_2+a_3+\dots+a_n) - (b_1+b_2+b_3+\dots+b_n)$
$= \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n} b_k$ á
- á. $\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k^2+2a_k b_k+b_k^2) = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2a_k b_k + \sum_{k=1}^{n} b_k^2$
$= \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} a_k b_k + \sum_{k=1}^{n} b_k^2$ á
7
|
[11] Math - High
| 11
|
|
#### ááá áļááááááŧ
ááááļ
á. $\sum_{k=1}^{15} (4k+3)$
á. $\sum_{k=1}^{20} (k+3)k$ á
**á
áááážá**
á. $\sum_{k=1}^{15} (4k+3) = \sum_{k=1}^{15} 4k + \sum_{k=1}^{15} 3 = 4\sum_{k=1}^{15} k + \sum_{k=1}^{15} 3$
$= 4(1+2+3+\dots+15) + 15 \times 3 = 4 \times \frac{(1+15) \times 15}{2} + 45 = 2 \times 16 \times 15 + 45 = 525$ á
á. $\sum_{k=1}^{20} (k+3)k = \sum_{k=1}^{20} (k^2+3k) = \sum_{k=1}^{20} k^2 + 3\sum_{k=1}^{20} k$
$= \frac{(20) \times (20+1) \times (2 \times 20+1)}{6} + 3\frac{(1+20) \times 20}{2}$
$= 10 \times 7 \times 41 + 3 \times 21 \times 10 = 2870 + 630 = 3500$ á
#### áááááˇáááááˇ
ááááļ
- á. $\sum_{k=1}^{20} (3k+1)$
- á. $\sum_{k=1}^{7} k^2$
- á. $\sum_{k=4}^{14} (4k-3)$
- á. $\sum_{k=1}^{n} (3+k)^2$
- á. $\sum_{k=1}^{30} k(k+1)$ á
8
|
[11] Math - High
| 12
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
### 4. áááááááááááŊáḠn ááļáááááááŊáááááá¸á
áááĸáļá
áááááááŊáḠn ááááááááá¸á $(a_n)$ áááááģááááááļááááá¸áááááááá áŦááļááááá¸ááááá¸ááļáááááļáááááááŧá
ááļáááááá á
#### 4.1 ááááááŊááááļáááḠ1 áááááá¸á
##### á§ááļá ááá 1
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ á
**á
áááážá**
áááááááááážáááļááááá¸ááááááˇááááááļááááá¸áááááááá á ážáááááˇááááááļááááá¸ááááá¸ááļááá á áááááááááŧááááážááááááááŊáááááááááļááááááļááááááá¸á $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ ááááļáááááļáááááŧááŧá
ááļ
n : 1 2 3 4 5 6...
ááááá¸á $(a_n)$ : 1 3 7 13 21 31...
ááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á : 2 4 6 8 10...
ááááááŊááááááá¸ááĸáļá
ááŊááąááááááááááļáááááŧ ááááĸáļá
áááááááŊááŧáá
ááááááá¸áááļáááŧá
ááļ
$a_2 - a_1 = 3-1 = 2 \times 1$
$a_3 - a_2 = 7-3 = 4 = 2 \times 2$
$a_4 - a_3 = 13-7 = 6 = 2 \times 3$
...
$a_{n-1} - a_{n-2} = 2 \times (n-2)$
$a_n - a_{n-1} = 2 \times (n-1)$ á
ááŧááĸáááááˇááĸáááááļáááĸáá ááááļá
$a_n - a_1 = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + 2 \times (n-2) + 2 \times (n-1)$
$a_n = 2 \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + 2 \times (n-2) + 2 \times (n-1) + 1$
$= 2 \times [1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)] + 1 = 2 \times \frac{[1+(n-1)](n-1)}{2} + 1$
$= n(n-1)+1 = n^2 - n + 1$ á
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots$ áááááááá $a_n = n^2 - n + 1$ á
**ááļááŧáá
**
ááááļáááááá¸á $(a_n): a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ á ážá $b_1 = a_2 - a_1$, $b_2 = a_3 - a_2$, $b_3 = a_4 - a_3, \dots, b_{n-1} = a_n - a_{n-1}$ á ááááá¸á $(b_n): b_1, b_2, b_3, \dots, b_{n-1}$ á á
ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ á
9
|
[11] Math - High
| 13
|
|
##### á§ááļá ááá 2
áááá áļáááļ $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ á
áááá $n \ge 2$ á
$a_1 \quad a_2 \quad a_3 \quad a_4 \quad \dots \quad a_{n-1} \quad a_n$
$\quad b_1 \quad b_2 \quad b_3 \quad b_4 \quad \dots \quad b_{n-2} \quad b_{n-1}$
$a_2 - a_1 = b_1$
$a_3 - a_2 = b_2$
$a_4 - a_3 = b_3$
+ ...
$a_{n-1} - a_{n-2} = b_{n-2}$
$a_n - a_{n-1} = b_{n-1}$
$a_n - a_1 = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{n-1}$
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá
$a_n = a_1 + (b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{n-1}) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ á
á
áááá $n=1$ ááááļá $b_{1-1} = b_0$ ááˇáááļá á
ááŧá
ááá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ á
áááá $n \ge 2$ á
**ááļááŧáá
**
ááááļáááááá¸á $(a_n)$ ááˇáááááá¸á $(b_n)$ ááááááááááá $b_n = a_{n+1} - a_n$, $n=1, 2, 3, \dots$
ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ áááááááá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ á
áááá $n \ge 2$ á
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $2, 4, 8, 14, 22, 32, \dots$ á
**á
áááážá**
ááļá $a_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸áááááááąáá á ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ áááááļáááŊ $b_n$ áááááááá $b_n = a_{n+1} - a_n$
ááááá¸á $(b_n): 2, 4, 6, 8, \dots$
ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááá¸áááááááááááááļáááŊáḠ1 áááážáášá 2 ááˇáááááááŊááááážáášá 2 ááá
$b_n = 2 + 2(n-1) = 2n$ á
10
|
[11] Math - High
| 14
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá
$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2}n(n-1) = 2 + n^2 - n = n^2 - n + 2$
ááá $a_n = n^2 - n + 2$ á
á
áááá $n=1$, $a_1 = 1^2 - 1 + 2 = 2$ ááˇá á
ááŧá
ááá ááááá¸á $(a_n)$ ááļáááŊáḠn áááááááá $a_n = n^2 - n + 2$ á
#### ááá áļááááááŧ 2
á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
**á
áááážá**
á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n): 1, 2, 5, 10, 17, \dots$
ááļá $a_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸áááááááąáá $(a_n)$ á ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ áááááļáááŊ $b_n$ áááááááá $b_n = a_{n+1} - a_n$ á ááááá¸á $(b_n): 1, 3, 5, 7, \dots$ á ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááá¸áááááááááááááļáááŊáḠ1 áááážáášá 1 ááˇáááááááŊááááážáášá 2 ááá $b_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - (n-1)$
$= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}n(n-1) - (n-1) = 1 + n^2 - n - n + 1 = 2 - 2n + n^2$
ááá $a_n = 2 - 2n + n^2$ á
á
áááá $n=1$ ááááļá $a_1 = 2 - 2 + 1 = 1$ ááˇá á ááŧá
ááá $a_n = 2 - 2n + n^2$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$
ááļá $S_n$ ááļááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} (2 - 2k + k^2)$
$= 2n - 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^2 = 2n - 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$= \frac{12n}{6} - \frac{6}{6}n(n+1) + \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) = \frac{1}{6}n(12 - 6n - 6 + 2n^2 + n + 2n + 1)$
$= \frac{1}{6}n(7 - 3n + 2n^2)$
ááŧá
ááá $S_n = \frac{1}{6}n(2n^2 - 3n + 7)$ á
11
|
[11] Math - High
| 15
|
|
#### áááááˇáááááˇ
1. á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $4, 5, 7, 10, 14, \dots$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
2. á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $3, 5, 8, 12, 17, 23, \dots$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
#### 4.2 ááááááŊááááļáááḠ2 áááááá¸á
áážááˇáááļááááá¸á $(b_n)$ áá
ááááˇááĸáļá
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááļáááá áááááááááŧááááážááááááááļááááŊááááááá¸á $(b_n)$ ááááááá áááááá á
ááļ ááááááŊááááļáááḠ2 ááááááá¸á á
##### á§ááļá ááá
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n): 1, 2, 6, 15, 31, 56, \dots$ á
**áááááḠ1**
n : 1 2 3 4 5 6...
ááááá¸á $(a_n)$ : 1 2 6 15 31 56... á
ááááááŊááááļáááḠ1: 1 4 9 16 25...
ááļá $a_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ á
ááááá¸á $(b_n): 1, 4, 9, 16, 25, \dots$ ááá $b_n = n^2$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
ááá $a_n = \frac{1}{6}(2n-1)(n-1)n + 1$ á
á
áááá $n=1$, $a_1 = 1$ ááˇá á
ááŧá
ááá $a_n = \frac{1}{6}(2n-1)(n-1)n + 1$ á
**áááááḠ2**
n: 1 2 3 4 5 6...
ááááá¸á $(a_n)$: 1 2 6 15 31 56...
ááááááŊááááļáááḠ1: 1 4 9 16 25...
ááááááŊááááļáááḠ2: 3 5 7 9
ááļá $a_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ áááááļáááŊ n ááááááá¸áááē $b_n = a_{n+1} - a_n$ á ááļá $c_n$ ááļááááááŊááááááá¸á $(b_n)$ á á
ááļ ááááááŊááááļáááḠ2 á ááááļáááááá¸á $(c_n): 3, 5, 7, 9, \dots$ á ááááá¸á $(c_n)$ ááļááááá¸áááááááááááááļáááŊáḠ1 áááážáášá 3 ááˇáááááááŊááááážáášá 2 ááˇá $c_n = 3 + 2(n-1) = 2n+1$ á
12
|
[11] Math - High
| 16
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)$
$= 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + (n-1) = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n = n^2$ ááá $b_n = n^2$ á
á
áááá $n=1$, $b_1 = 1$ ááˇá á ááŧá
ááá $b_n = n^2$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
ááá $a_n = \frac{1}{6}(2n-1)(n-1)n + 1$ á
á
áááá $n=1$, $a_1 = 1$ ááˇá
ááŧá
ááá $a_n = \frac{1}{6}(2n-1)(n-1)n + 1$ á
**ááļááŧáá
**
ááááļáááááá¸á $(a_n)$ á
ááááá¸á $(b_n)$ áááááááá $b_n = a_{n+1} - a_n$, $n=1, 2, 3, \dots$ á á
ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ áááááļáááŊáḠn áááááááá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ á
áááá $n \ge 2$ á
ááááá¸á $(c_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ2 ááááááá¸á $(a_n)$ ááēááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(b_n)$ áááááááá $c_n = b_{n+1} - b_n$, $n=1, 2, 3, \dots$ áááááļáááŊáḠn ááááááá¸á $(b_n)$ áááááááá $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k$ á
áááá $n \ge 2$ á
#### ááá áļááááááŧ
á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $4, 18, 48, 100, 180, 294, \dots$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
**á
áááážá**
á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $4, 18, 48, 100, 180, 294, \dots$
ááļá $a_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸áááááááąáá $(a_n)$
ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ áááááļáááŊ $b_n$ ááááááá¸ááááááááá $b_n = a_{n+1} - a_n$ á ááááá¸á $(b_n): 14, 30, 52, 80, 114, \dots$ á
ááļáááááá¸á $(c_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(b_n)$ áááááļáááŊ $c_n$ ááļááŊáḠn ááááááá¸ááááááááá $c_n = b_{n+1} - b_n$ ááááļáááááá¸á $(c_n): 16, 22, 28, 34, \dots$ á
13
|
[11] Math - High
| 17
|
|
ááááá¸á $(c_n)$ ááļááááá¸áááááááááááááļáááŊáḠ1 áááážáášá 16 ááˇáááááááŊááááážáášá 6
$c_n = 16 + 6(n-1) = 16 + 6n - 6 = 6n + 10$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 14 + \sum_{k=1}^{n-1} (6k+10)$
$= 14 + 6\sum_{k=1}^{n-1} k + 10(n-1) = 14 + 6 \cdot \frac{1}{2}n(n-1) + 10(n-1) = 3n^2 + 7n + 4$ á
á
áááá $n=1$ ááááļá $b_1 = 4+7+3 = 14$ ááˇá á ááŧá
ááá $b_n = 3n^2 + 7n + 4$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + 7k + 4)$
$= 4 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 7\sum_{k=1}^{n-1} k + 4(n-1)$
$= 4 + 3 \cdot \frac{1}{6}n(n-1)(2n-1) + 7 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n + 4n - 4$
$= \frac{1}{2}(n-1)n(2n-1) + \frac{7}{2}(n-1)n + 4n = \frac{1}{2}n(n-1)(2n-1+7) + 4n = n(n-1)(n+3) + 4n = n(n^2+2n-3)+4n = n^3+2n^2-3n+4n = n^3+2n^2+n$
$= \frac{1}{2}(n-1)(7n+2n^2-n)+4n = (n-1)(3n+n^2)+4n = n^3+2n^2+n$ á
ááŧá
ááá $a_n = n^3 + 2n^2 + n$ á
á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$
ááļá $S_n$ ááļááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$
$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 2k^2 + k)$
$= \sum_{k=1}^{n} k^3 + 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$
$= \frac{1}{4}n^2(1+n)^2 + 2 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)$
$= \frac{1}{12}n(n+1)[3n(n+1) + 4(2n+1) + 6] = \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+3n+8n+4+6)$
$= \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+11n+10)$ á
á
áááá $n=1$, $a_1 = 4$ ááˇá
ááŧá
ááá $S_n = \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2+11n+10)$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 2, 5, 12, 27, 58, 121, \dots$ á
14
|
[11] Math - High
| 18
|
|
### ááá áļáá
#### ááááŧá ᥠááááááḠáĄ
1. áááááááááŧáááļááááááááááááážááˇááˇááááááááļ â :
- á. $1+2+3+\dots+100$
- á. $1+4+9+16+\dots+484$
- á. $1+8+27+64+\dots+3375$
- á. $1 \times 3 + 2 \times 4 + 3 \times 5 + \dots + 20 \times 22$ á
2. ááááááááááááŊááļáááĸááááááááŧááááááˇááááážááˇááˇááááááááļ â :
- á. $\sum_{k=1}^{6} k$
- á. $\sum_{k=1}^{5} k^2$
- á. $\sum_{k=4}^{9} (3k-1)$
- á. $\sum_{k=2}^{7} (-1)^k k$ á
3. ááááļ
- á. $\sum_{k=1}^{11} k^2$
- á. $\sum_{k=1}^{24} k^2$
- á. $\sum_{k=12}^{24} k^2$ á
4. ááááļ
- á. $\sum_{k=1}^{24} k^3$
- á. $\sum_{k=1}^{15} k^3$
- á. $\sum_{k=16}^{24} k^3$ á
5. - á. áááááŊááááááá $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$
- á. ááááááážá
áááážá
- á. ááááļááááŧá $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + 28 \times 29$ á
6. - á. áááááŊááááááá $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$
- á. ááááááážá
áááážá
- á. ááááļááááŧá $1 \times 2 \times 3 + 2 \times 3 \times 4 + 3 \times 4 \times 5 + \dots + 20 \times 21 \times 22$ á
7. - á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ á
- á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
8. - á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 5, 14, 30, 55, 91, \dots$ á
- á. ááááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
9. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n): p, q, p, q, p, q, \dots$ á
15
|
[11] Math - High
| 19
|
|
## ááááááḠ2 ááááļááááááááŊáááááá¸á
### 1. áááááááŊáḠn ááááááážááááá¸áááááŊá
ááááļáááˇááááļááŊá
ááá ážáááŧáááááļááááááááŊááááááá¸áááááááá ááˇááááá¸ááááá¸ááļááá á
á
ááááááááá¸áááááááá $a_{n+1} = a_n + d$, d ááļááááááŊá á
á
ááááááááá¸ááááá¸ááļááá $a_{n+1} = a_n \times q$, q ááļáááááááŊá á
ááá
ááááááášáááˇááááļáĸááá¸ááááļááááááááŊááááááá¸ááááááááááááááááááááááŊáḠn áááááá¸áááá á
#### áááááģáááá
- áááááááŊáḠn ááááááážááá¸áááááŊá
- áááááááŊáḠn ááļáááááļáááááááááļá $a_n$ ááˇá $S_n$
- áááááááŊááŧáá
ááááááļááááááááŊááááģááááááá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááŊááŧáá
ááááááá¸á $(a_n)$ áááááááļáááááááááážá $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 1 + 4a_n$ á
**á
áááážá**
**áááááḠ1**
ááááļá $a_1 = 1$ áḠ$a_{n+1} = 1 + 4a_n$ áááĸáļá
ááááá
$a_2 = 1 + 4a_1 = 1+4$
$a_3 = 1 + 4a_2 = 1 + 4 \times (1+4) = 1+4+4^2$
$a_4 = 1 + 4a_3 = 1 + 4 \times (1+4+4^2) = 1+4+4^2+4^3$
...
ááá $a_n = 1+4+4^2+4^3+\dots+4^{n-1}$
ááááļá $a_n = 1+4+4^2+4^3+\dots+4^{n-1} = \frac{1 \times (4^n-1)}{4-1} = \frac{4^n-1}{3}$ á
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááē $a_n = \frac{4^n-1}{3}$ á
**áááááḠ2**
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $a_{n+1} = 1+4a_n$, $a_n = 1+4a_{n-1}$
16
|
[11] Math - High
| 20
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĸ
ááá $a_{n+1} - a_n = 1+4a_n - (1+4a_{n-1}) = 4(a_n - a_{n-1})$ (1)
áážááááļá $b_n = a_{n+1} - a_n$ ááááḠ(1) ááááļá $b_n = 4b_{n-1} \Rightarrow \frac{b_n}{b_{n-1}} = 4$ áááááááá¸á $(b_n)$ ááļááááá¸ááááá¸ááļááááááááļááááááááŊááááážáášá 4 ááˇáááļáááŊáḠ1 ááˇáááŊáḠn ááē
$b_1 = a_2 - a_1 = 1+4 \times 1 - 1 = 4$, $b_n = 4 \times 4^{n-1} = 4^n$ á
ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááááá¸á $(a_n)$ ááļáááŧááááá á
áááá $n \ge 2$ ááááļá
$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{1 \times (4^n-1)}{4-1} = \frac{4^n-1}{3}$
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááē $a_n = \frac{4^n-1}{3}$ á
**áááááḠ3**
áááááážááááá¸áááááŊá $(r_n)$ ááŊá
áááážáááá $a_{n+1} - r_n$ á
áááąáá $r_n = -\frac{1}{3}$ ááááļá $a_{n+1} + \frac{1}{3} = 1+4a_n + \frac{1}{3} = 4a_n + \frac{4}{3} = 4(a_n + \frac{1}{3})$
ááļá $V_{n+1} = a_{n+1} + \frac{1}{3}$ á ážá $V_n = a_n + \frac{1}{3}$ (1)
ááááļá $V_{n+1} = 4V_n$ á ážá $V_n = 4^{n-1} \cdot V_1$ á
áááĸáļá
ááááļ $V_1$ ááļáááááļáááááá (1) ááē $V_1 = a_1 + \frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
ááááļá $V_n = 4^{n-1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4^n}{3}$ áááĸáļá
ááááļ $a_n$ ááļáááááļáááááá (1)
ááē $a_n = V_n - \frac{1}{3} = \frac{4^n}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4^n-1}{3}$ á
**áááááļáá**
áážáááá¸ááááááááááááááááááá¸áááááŊá $(r_n)$ ááááļá $r_n = \alpha \cdot n + \beta$ ($\alpha, \beta$ ááá) ááļááááá¸áááááááááááááļáá $a_{n+1} = 1+4a_n$ á ááááŊááááá¸áááááŊááá
ááááģáááááá¸á $(a_n)$ ááááļáááá¸ááļáááááĸáļá
áąááááááááááá $\alpha$ ááˇá $\beta$ á
$a_{n+1} = 1+4a_n \Rightarrow \alpha \cdot (n+1) + \beta = 1+4 \cdot (\alpha \cdot n + \beta)$ áŦ $3 \cdot \alpha n + 3 \cdot \beta - \alpha + 1 = 0$
ááááļááááááááá $\begin{cases} 3 \cdot \alpha = 0 \\ 3 \cdot \beta - \alpha + 1 = 0 \end{cases}$ á ážá $\alpha=0, \beta = -\frac{1}{3}$ á
á áááģááá $r_n = -\frac{1}{3}$ ááŧá
áááááááá¸á $(r_n)$ á á
ááļááááá¸áááááŊá á
**ááļááŧáá
**
áááááážááááá¸áááááŊá $(r_n)$ ááá $r_n = \alpha \cdot n + \beta$ ($\alpha, \beta$ ááá) ááááááááááááļááááááļááááááááááááá¸á á ááááģááááá¸ááá ááááááŊá $r_n$ ááááģáááááļááááááááááááá¸á ááŊá
ááááļááááá $\alpha$ ááˇá $\beta$ áááááļáááááááááááļáááááá¸á $(r_n)$ áááášááááážáááá $a_{n+1} - r_n$ á
17
|
[11] Math - High
| 21
|
|
#### ááá áļááááááŧ 2
áááąááááááá¸á $(a_n)$ áááááááá $a_1 = 3$, $a_{n+1} = 2a_n - n + 1$ á áááááááŊáḠn á
**á
áááážá**
ááļá $(r_n)$ ááá $r_n = \alpha n + \beta$ ááļááá¸áááááŊá á
ááááļá $a_{n+1} = 2a_n - n + 1 \Rightarrow \alpha \cdot (n+1) + \beta = 2(\alpha n + \beta) - n + 1$
$n \cdot (\alpha - 1) + \beta - \alpha + 1 = 0$ ááááļááááááááá $\begin{cases} \alpha - 1 = 0 \\ \beta - \alpha + 1 = 0 \end{cases}$ á ážá $\alpha = 1, \beta = 0$
ááá $r_n = n$ á áááážáááááááļáááááá¸á $a_{n+1} - r_n$ ááááļá :
$a_{n+1} - n = 2a_n - n + 1 - n = 2a_n - 2n + 1$, $a_{n+1} - (n+1) = 2(a_n - n)$
ááļá $V_n = a_n - n$ (1) ááá $V_{n+1} = a_{n+1} - (n+1)$ ááááļá $V_{n+1} = 2 \cdot V_n$
á ážá $V_n = 2^{n-1} \cdot V_1$ á
ááááááļ $V_1$ ááļá $V_n = a_n - n$, $V_1 = a_1 - 1 = 3-1 = 2$, $V_n = 2^{n-1} \cdot 2 = 2^n$
áááĸáļá
ááááļ $V_n$ ááļá (1) ááē $V_n = a_n - n$ ááá $a_n = V_n + n = 2^n + n$ á
ááŧá
ááá $a_n = 2^n + n$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ áááááááá $a_1 = 5$, $a_n = 2a_{n-1} - n$ á
### 2. ááááļáááááááááļá $a_n$ ááˇá $S_n$
#### á§ááļá ááá
ááááļáááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē $S_n = n^2 + n$ á áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
**á
áááážá**
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$
ááááļáááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē
$S_n = n^2 + n \Rightarrow S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + a_n = n^2 + n$
$\Rightarrow S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} = (n-1)^2 + (n-1)$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $S_n - S_{n-1} = a_n = n^2 + n - [(n-1)^2 + (n-1)]$
$a_n = n^2 + n - (n-1)^2 - n + 1 = n^2 + n - n^2 + 2n - 1 - n + 1 = 2n$ ááá $a_n = 2n$ á
á
áááá $n=1$ ááááļá $S_1 = 1^2 + 1 = 2$ ááˇá ááááá $(S_1 = a_1 = 2)$ á ááŧá
ááá $a_n = 2n$ á
á§áááļááļ $S_n$ ááēááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááá $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n$ ááˇá $S_{n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}$ á
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $S_n - S_{n-1} = a_n$ á áááááļáááá $S_1 = a_1$ á
18
|
[11] Math - High
| 22
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĸ
**ááļááŧáá
**
á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $S_n - S_{n-1} = a_n$ ááˇá $S_1 = a_1$ á
**áááááļáá**
$S_n$ ááˇá $S_{n+1}$ ááļáááļáá
áļáááļá
ááážáááá¸áá $a_{n+1}$ ááē $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ á
#### ááá áļááááááŧ
ááááļáááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē $S_n = n^3 + 2n$ á
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
**á
áááážá**
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$
ááááļáááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ ááē
$S_n = n^3 + 2n \Rightarrow S_{n-1} = (n-1)^3 + 2(n-1)$
$a_n = S_n - S_{n-1} = n^3 + 2n - (n-1)^3 - 2(n-1)$
$= n^3 + 2n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) - 2n + 2 = n^3 + 2n - n^3 + 3n^2 - 3n + 1 - 2n + 2 = 3n^2 - 3n + 3$ á
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááē $a_n = 3n^2 - 3n + 3$ á
#### áááááˇáááááˇ
ááááļá $S_n = 4 - a_n - \frac{1}{2^{n-2}}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) ááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ á
á. áááááááááļáááááááááážááááļá $a_{n+1}$ ááˇá $a_n$ á
á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
### 3. ááááļáááááááááážáááááģááááááá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$
#### á§ááļá ááá
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááá $a_1 = 1, a_2 = 3$ ááá $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$ ($n=1, 2, \dots$) á
ááááááļáá $a_1, a_2$ áááĸáļá
ááááļááŊ $a_3$ ááˇáááŊáááááááááļáááážáááá¸ááˇááˇááááážáááááļáááááŧ
$a_3 = 3a_2 - 2a_1 = 9-2 = 7$
$a_4 = 3a_3 - 2a_2 = 21-6 = 15$
$a_5 = 3a_4 - 2a_3 = 45-14 = 31$
$a_6 = 3a_5 - 2a_4 = 93-30 = 63$
ááááļááááááŊáááááá¸áááá
$a_2 - a_1 = 2$
$a_3 - a_2 = 2^2$
19
|
[11] Math - High
| 23
|
|
$a_4 - a_3 = 2^3$
...
$a_n - a_{n-1} = 2^{n-1}$
$a_n - a_1 = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}$ ááá $a_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}$
ááļááááŧáááŊááááááá¸ááááá¸ááļááááááááļá 1 ááļááŊáá¸ááŊá ááˇááááááááŊááááážáášá 2
ááááļá $a_n = 2^n - 1$ á
**ááļááŧáá
**
áááĸáļá
ááááļ $a_n$ ááļáááˇáá¸ááļáááááá :
$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n \Leftrightarrow a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_{n+1} - 2a_n = a_n - 2a_{n-1}$
$= a_{n-1} - 2a_{n-2} = \dots = a_2 - 2a_1 = 3 - 2 \times 1 = 1$
ááá $a_{n+2} - 2a_{n+1} = a_{n+1} - 2a_n = 1$ (1) á
áááááļáááá $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n \Leftrightarrow a_{n+2} - a_{n+1} = 2(a_{n+1} - a_n)$
ááļá $b_n = a_{n+1} - a_n$ ááá $(b_n)$ áŦ $(a_{n+1} - a_n)$ ááļááááá¸ááááá¸ááļááááááááļááááááááŊááááážáášá 2 ááˇáááŊáá¸ááŊááááážáášá $b_1 = a_2 - a_1 = 3-1 = 2$ á ážá $b_n = 2 \cdot (2)^{n-1} = 2^n$ (2)
ááļá (1) ááˇá (2) ááááļá
$\begin{cases} a_{n+1} - 2a_n = 1 & (1) \\ a_{n+1} - a_n = 2^n & (2) \end{cases}$
$-a_n = 1 - 2^n$
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááē $a_n = 2^n - 1$ á
**ááļááŧáá
áááááááááááļá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$**
áážááááļááááááááááááá¸á $(a_n)$ ááļááááááá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$
ááááˇá
áļáááļáá¸áá
áááŊá $\alpha$ ááˇá $\beta$ áááááááááááááááá $\alpha + \beta = -p, \alpha\beta = q$ á
áááááááļá $a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0$ á
ááááļááááááááááĸáļá
áááááááļááááááá¸ááááļáááŧá
ááļáááááá :
$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$
$a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta a_n)$
ááááļááááááááļáá 2 ááļááážááá ááēááļááááá¸ááááá¸ááļááááĸáļá
áąáááááá $a_n$ ááļá á
20
|
[11] Math - High
| 24
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĸ
áááĸáļá
áá $\alpha$ ááˇá $\beta$ ááááááááááļáááá¸ááļá $x^2 + px + q = 0$ áááááááááááļááááááŧáááˇáááááģáááļ á
ááá¸ááļá $x^2 + px + q = 0$ á á
ááļ âááá¸ááļááááááļáááá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$â á
#### ááá áļááááááŧ
ááááá¸á $(a_n)$ áááááááá $a_1 = 1, a_2 = 13, a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n$ ($n=1, 2, \dots$) á áááááááŊáḠn ááááááá¸á á
**á
áááážá**
áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$
$a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \Leftrightarrow a_{n+2} - a_{n+1} - 6a_n = 0$
ááá¸ááļááááááļáá : $x^2 - x - 6 = 0$ ááá¸ááļáááļááĢá $x=3$ áŦ $x=-2$ á ááááļá
$\begin{cases} a_{n+2} + 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} + 2a_n) & (i) \\ a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2(a_{n+1} - 3a_n) & (ii) \end{cases}$
(i) $a_{n+2} + 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} + 2a_n)$
ááļá $b_n = a_{n+1} + 2a_n$ áááááááá¸á $(b_n)$ ááļááááá¸ááááá¸ááļááááááááļááááááááŊááááážáášá 3 á ážáááŊáḠ1 ááē $b_1 = a_2 + 2a_1 = 13 + 2 \times 1 = 15$ ááˇá $b_n = 15 \cdot (3)^{n-1}$
ááááļá $a_{n+1} + 2a_n = 15 \cdot (3)^{n-1}$ (1) á
(ii) $a_{n+2} - 3a_{n+1} = -2(a_{n+1} - 3a_n)$
ááļá $c_n = a_{n+1} - 3a_n$ áááááááá¸á $(c_n)$ ááļááááá¸ááááá¸ááļááááááááļááááááááŊááááážáášá -2 á ážáááŊáḠ1 ááē $c_1 = a_2 - 3a_1 = 13 - 3 \times 1 = 10$ ááˇá $c_n = 10 \cdot (-2)^{n-1}$
ááááļá $a_{n+1} - 3a_n = 10 \cdot (-2)^{n-1}$ (2) á
ááļá (1) ááˇá (2) ááááļá
$\begin{cases} a_{n+1} + 2a_n = 15 \cdot (3)^{n-1} & (1) \\ a_{n+1} - 3a_n = 10 \cdot (-2)^{n-1} & (2) \end{cases}$
$5a_n = 15(3)^{n-1} - 10(-2)^{n-1}$
$a_n = 3 \times 3^{n-1} - 2 \times (-2)^{n-1} = 3^n + (-2)^n$
ááŧá
ááá ááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ ááē $a_n = 3^n + (-2)^n$ á
#### áááááˇáááááˇ
ááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááá $a_1 = 0, a_2 = 3, a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n$ ($n=1, 2, \dots$) á áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
21
|
[11] Math - High
| 25
|
|
### ááá áļáá
1. ááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážáááŧá
ááļáááááá :
- á. $a_1 = 3, a_{n+1} = 2a_n - 4$
- á. $a_1 = 5, a_{n+1} = 3a_n - 2n$ á
áááááááŊáḠ4 áááááá¸áááá á
2. ááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážá $a_1 = 1, a_2 = 2, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ á
áááááááŊáḠ7 ááááááá¸áááá á
3. ááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážá $a_1 = 1, a_{n+1} = pa_n + q$ á
ááááļááááá p ááˇá q áážáááášáááŊáḠ3 áááážáášá 6 ááˇáááŊáḠ5 áááážáášá 86 á
4. áááááááŊááŧáá
ááááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážáááŧá
ááļáááááá :
- á. $a_1 = 1, 3a_{n+1} = 2a_n + 3$ ($n=1, 2, \dots$)
- á. $a_1 = 1, 3a_{n+1} = 3a_n + 4$ ($n=1, 2, \dots$)
- á. $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + n$ ($n=1, 2, \dots$) á
5. ááááļáááááá¸á $(a_n)$ áááááááá $a_1 = 4, a_{n+1} = \frac{4a_n - 9}{a_n - 2}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) á
- á. ááááļááááááļááááļ $a_n \ne 3$ á
ááááááááá n á
- á. áá $b_n = \frac{1}{a_n - 3}$ ááˇááááááááŊááŧáá
ááááááá¸á $(b_n)$ á áááááááŊááŧáá
ááááááá¸á $(a_n)$ á
6. ááááļá $S_n$ ááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ á
ááž $S_n$ ááááááááááááá $S_n = 4 - a_n - \frac{1}{2^{n-2}}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) áááá
áŧá :
- á. áááááááááļáááááááááážááááļá $a_{n+1}$ ááˇá $a_n$ á
- á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
7. ááááļá $S_n$ ááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ á ážáááááááááááááá $(a_n): a_1 = 1$, $S_n = a_{n+1} + n^2$ ($n \ge 1$) á áááááááŊáḠn áááááá¸á $(a_n)$ á
22
|
[11] Math - High
| 26
|
|
### ááááŧá ᥠááááááḠáĸ
8. ááááļá $S_n$ ááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸á $(a_n)$ á ážá $S_n$ ááááááááááááá $S_n = \frac{n}{n-1} a_n$ $n \ge 2$ á
- á. áááááļáááá $a_n$ ($n \ge 3$) áĸááģáááááášá n ááˇá $a_{n-1}$ á
- á. áááááļáááá $S_n$ ($n \ge 2$) áĸááģáááááášá n ááˇá $S_{n-1}$ á
- á. á§áááļááļ $a_1 = 1$ ááááŊáḠn ááááááá¸á $S_n$ ááá $n \ge 1$ á
9. ááááļáááááá¸á $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážá
$(a_n): a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n+3}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) á
- á. ááļá $b_n = \frac{1}{a_n}$ á áááááááááļáááááááááážááááļá $b_n$ ááˇá $b_{n+1}$ á
- á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
23
|
[11] Math - High
| 27
|
|
## ááááááḠ3 ááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
### 1. áááááļáááááááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
ááááááļáááááááááááážáá§ááļá ááááááááááááááŧáá
áááŊááááááá
ááááŧá 1 ááŊááļáááá $P(1) = 1 = 1^2$
ááááŧá 2 ááŊááļáááá $P(2) = 1+3 = 2^2$
ááááŧá 3 ááŊááļáááá $P(3) = 1+3+5 = 3^2$
áááĸáļá
ááļáááļáááááŧá n ááŊááļáááá
$P(n) = 1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$ á
#### áááááģáááá
- áááááááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
- ááļááááážáĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
- áááášáááá¸ááááááááļ á
áááááļáááá¸ááļáááŧáááááááááá ááááááŧááááááļááááļááŧááááá $P(n)$ ááˇáá
áááááááááá
áááŊáááá n á ááááģááááá¸ááááááááážááááááááááļáá $P(n)$ ááááąáá $n=1$ á
ááž $n=1$, $1 = 1^2$ á áááģááá $P(1)$ ááˇá á
á§áááļááļ $P(n)$ ááˇá á
ááááááááá n ááļááŊá
ááááááŧáááááļáááļ $P(n)$ ááˇáááļááąááááļá $P(n+1)$ ááááˇáááá
ááž $P(n)$ ááˇá ááááļá $1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$
áážáááá¸ááááļááááááļááááļ $P(n+1)$ ááˇáááģáááááļááááááļá $P(n+1) = (n+1)^2$ á
#### ááááááááļááááááļáá
áááášáááļ $P(n+1) = 1+3+5+\dots+(2n-1)+[2(n+1)-1] = n^2 + (2n+2-1)$
$= n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$
$P(n+1)$ ááˇá á
ááŧá
ááá $P(n)$ ááˇáá
ááááááááá $n \in \mathbb{N}$ á
24
|
[11] Math - High
| 28
|
|
### ááááŧá ᥠááááááá¸áŖ
#### áááááļáááááááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ
**ááˇá
áļááĸááģááļáááŊá**
$P(n)$ ááļáááážáááááļáááááášáá
áááŊáááá n
áážáááá¸ááááļááááááļááááļ $P(n)$ ááˇáá
ááááááááá $n \in \mathbb{N}$ ááááááŧá :
1. áááááááááļááááļ $P(n)$ ááˇáá
áááá $n=1$
2. á§áááļááļ $P(n)$ ááˇáá
ááááááááá n
3. ááááļááááááļááááļ $P(n)$ ááˇáááļááąááááļá $P(n+1)$ ááˇá á
#### ááá áļááááááŧ
ááááļááááááļááááááļá $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + n \times (n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ ááˇáá
ááááááááá $n \in \mathbb{N}$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
**á
áááážá**
á
áááá $n=1$
áĸáááááļáááááá $1 \times 2 = 2$
áĸáááááļáááááļá $\frac{1}{3} \times 1 \times (1+1)(1+2) = 2$ á
ááááĸáááááļáááááá = áĸáááááļáááááļá
ááŧá
ááá á
áááá $n=1$ ááááļáááˇá á
á§áááļááļ ááááļáááˇáá
áááá $n=k$ ááááļá
$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + k \times (k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ ($k=1, 2, 3, \dots$) á
áááá áļáááļááááļáááˇáá
áááá $n=k$ ááļááąááááļáááááļáááˇáá
áááá $n=k+1$
$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$
ááááļá $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + k \times (k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$
ááá $(k+1)(k+2)$ áážáĸáááááļáááá¸áááááá¸ááļá ááááļá
$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + k \times (k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$
$= (k+1)(k+2)(\frac{k}{3}+1) = (k+1)(k+2)(\frac{k+3}{3})$
$= \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$ ááˇá á
ááŧá
ááá ááááļáááˇáá
ááááááááá $n \in \mathbb{N}$ á
ááŧá
ááá $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + n \times (n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ ($n=1, 2, 3, \dots$) á
25
|
[11] Math - High
| 29
|
|
#### ááá áļááááááŧ 2
á
áááá $h>0$ ááˇáá
áááŊááááááááááļáᡠ$n \ge 2$ áááá áļáááļ $(1+h)^n > 1+nh$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
**á
áááážá**
á
áááá $n=2$
ááááļá $(1+h)^2 = 1+2h+h^2 > 1+2h$ ááááá $h^2 \ge 0$
ááŧá
ááá ááˇááááļááááááˇá á
áááá $n=2$ á
á§áááļááļááˇááááļááááááˇá á
áááá $n=k$ ($k \ge 2$) ááá $(1+h)^k > 1+kh$ ááˇá
áááášááááá áļáááļááļááˇáááá $n=k+1$ ($k \ge 2$) ááē $(1+h)^{k+1} > 1+(k+1) \times h$ (1) á
ááááļá $(1+h)^k > 1+kh$ ááá $h>0$ ááá $1+h>0$
ááģááĸáááááļáááá¸ááá (1) ááˇá $1+h>0$
ááááļá $(1+h)^k(1+h) > (1+kh)(1+h)$
$(1+h)^{k+1} > 1+kh+h+kh^2 = 1+(k+1)h+kh^2 > 1+(k+1)h$ ááááá $kh^2 \ge 0$ á
ááŧá
ááá ááˇááááļá $(1+h)^n > 1+nh$ ááˇáá
ááááááááá $n \ge 2$ á
#### ááá áļááááááŧ 3
ááááļááááááļááááļ $n^3+2n$ ááļáá áģááģááá 3 á
áááááááááá
áááŊáááá n ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
**á
áááážá**
á
áááá $n=0$ ááááļá 0 ááļáá áģááģááá 3 ááˇá á
á§áááļááļááááļáááˇáá
ááááá
áááŊáááá $n=k$
ááááļá $k^3+2k$ ááļáá áģááģááá 3 ááˇá
áážáááļá $k^3+2k = 3q$ á
áááááá áļáááļááļááˇáá
áááá $n=k+1$ ááē $(k+1)^3+2(k+1)$ ááļáá áģááģááá 3 á
ááááļá $(k+1)^3+2(k+1) = k^3+3k^2+3k+1+2k+2$
$= k^3+3k^2+5k+3 = (k^3+2k) + 3 \times (k^2+k+1)$
$= 3q + 3(k^2+k+1) = 3(q+k^2+k+1)$
ááļááááááļ $(k+1)^3+2(k+1)$ ááļáá áģááģááá 3 á
ááŧá
ááá $n^3+2n$ ááļáá áģááģááá 3 á
áááááááááá
áááŊáááá n á
26
|
[11] Math - High
| 30
|
|
#### áááááˇáááááˇ
- á. ááááļááááááļááááˇááááļá $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})(1+2+3+\dots+n) \ge n^2$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
- á. ááááļááááááļááááļ $2^{n+1} + 3^{2n-1}$ ááļáá áģááģááá 7 á
ááááááááá $n \in \mathbb{N}$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
- á. ááááļááááááļááááááļá $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
### 2. áááášáááá¸ááááááááļ
ááááááááááļááááááááģáááááááááļ ááááļááá áģááļ áŦááááá¸ááŊá á ááļááˇááááááļááááá¸ááááá¸ááļááááŦááááá¸áááááááááĄážá ááááļááļáááááļáááááŧááŊáá
áááļááááļáá á ááááģááááááááááááášáááˇááááļááŧááááááááááļááááááááááģáááááááááļáąááááļáááļáááá áá á ááļááááŧáááˇááˇááááážááááááļááááááááá $(x+y)^n$ á
ááááááááááááááá n á
#### á§ááļá ááá 1
$(x+y)^0 = 1$
$(x+y)^1 = 1x+1y$
$(x+y)^2 = 1x^2+2xy+1y^2$
$(x+y)^3 = 1x^3+3x^2y+3xy^2+1y^3$
$(x+y)^4 = 1x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+1y^4$
$(x+y)^5 = 1x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+1y^5$
ááááģáááŊáááááá¸ááŊáááážáááļáááááļáááááŧááŧá
áááááļ á
áá¸á§ááļá áááááļáááž ááááááááááááģáááŊáááááá¸ááŊáááááááááļááááááá $(x+y)^n$ áážáááļ á
- áááááļáááááááļáá¸ááŊááááļáá áģááļáááááļá $(n+1)$ ááŊ á
- ááááģááááááļáááááááļáá¸ááŊáááááááááģááá x á
áģá 1 ááēááááááļáááááááááļáá ááˇááááááááģááá y áážá 1 ááēááááááļáááááááááļáááážáááĸáļááá¸ááááááá
ááááļá á
- ááááŧááááááááááģáááááģáááŊáá¸ááŊáááááá áģááļááááž n á
27
|
[11] Math - High
| 31
|
|
- áááááááģáá
áļáááááážáááˇáá
áģááááááááē 1 ááŧá
ááááļ á ážáááááŧááááááááááģááá¸áááŊááļááááááļáááááááļá $(x+y)^n$ ááļáááááááģááááááááļá $(x+y)^{n+1}$... á
| | | | | |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 1 | 3 | 3 | 1 |
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
áááááááģááá $(x+y)^3$
áááááááģááá $(x+y)^4$
áŦáááááááģáááááŊáááááááááááááááļááĸáļááááááášááááááááģáááááŊáááááļááááļáááģáááē
áááááááģáááááŊáḠ$k+1 = \frac{(\text{áááááááģáááááŊáḠ} k) \times (\text{áááááááģááá } x \text{ ááááģáááŊáḠ} k)}{k}$ á
#### á§ááļá ááá 2
$(x+y)^5 = 1x^5 + 5x^4y^1 + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + 1y^5$
$\frac{1 \times 5}{1} \quad \frac{5 \times 4}{2} \quad \frac{10 \times 3}{3} \quad \frac{10 \times 2}{4} \quad \frac{5 \times 1}{5}$
áá¸á§ááļá ááá 1 áážááááááļá
ááááááááááááģáááˇááááááááááááļáááááááļááļááááá¸ááááááážáááļáááááļáááááŧááļá
ááážá á ááááļá
áááááááááááááģáááļáááááááļááļááááá¸áááá á
ááļ áááá¸ááááááļááááļáá ááˇáááļáááļááááááļááááļáááááááļáááááááááááģáááááģááááááļáááááááļ $(x+y)^n$ áááááļááááááááģáááŧá
ááááļááˇááļááĸááģááááááááļááááļááá
ááááááļááááááļáááááááļ $(x+y)^n$ áááááļááááááááģááá á
```
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
```
á
ááááá¯ááááá¸á 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... á á
ááļááááá¸á Fibonacci á
#### ááá áļááááááŧ
áááážáááá¸ááááááļááááļáááááááļááááááá $(x+y)^5$ á
**á
áááážá**
ááááááážááŊáááááá¸ááááļááááááá¸ááááááļááááļáá ááááļááááááááģá
```
1 4 6 4 1
/ \ / \ / \ / \
1 5 10 10 5 1
```
ááááļá $(x+y)^5 = 1x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + 1y^5$ á
28
|
[11] Math - High
| 32
|
|
### ááááŧá ᥠááááááá¸áŖ
#### áááááˇáááááˇ
áááážáááá¸ááááááļááááļáááááááļááááááá $(x+y)^6$ á
ááá
áļáááļá
ááááááááááŧááŊááŧáá
áááááááļá $(x+y)^n$ ááē
$(x+y)^n = 1x^n + ?x^{n-1}y^1 + ?x^{n-2}y^2 + \dots + ?x^{n-r}y^r + \dots + 1y^n$
ááŊ: 1, 2, 3, ..., (r+1), ..., (n+1)
áááááááģá: $1, \frac{1 \times n}{1}, \frac{n(n-1)}{1 \times 2}, \dots, \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times r}, \dots, 1$
$= 1x^n + \frac{n}{1}x^{n-1}y^1 + \frac{n(n-1)}{1 \times 2}x^{n-2}y^2 + \dots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times r}x^{n-r}y^r + \dots + 1y^n$ á
ááŧá
ááá
$(x+y)^n = 1x^n + \frac{n}{1}x^{n-1}y^1 + \frac{n(n-1)}{1 \times 2}x^{n-2}y^2 + \dots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times r}x^{n-r}y^r + \dots + 1y^n$ á
áá¸áááá¸ááááááļááááļáá áááážáááļáááááááģáááááááááļááļá
áááŊáááááááááááģáááááļ á ážááááášáááļ
$1 = \frac{n!}{n!0!} = C(n,0) = C(n,n)$
$n = \frac{n!}{(n-1)!1!} = C(n,1) = C(n,n-1)$
$\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} = \frac{n!}{(n-2)!2!} = C(n,2) = C(n,n-2)$
$\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \times 2 \times 3} = \frac{n!}{(n-3)!3!} = C(n,3) = C(n,n-3)$
...
$\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times r} = \frac{n!}{(n-r)!r!} = C(n,r) = C(n,n-r)$
á
áááŊáááá $C(n,0), C(n,1), C(n,2), \dots, C(n,n)$ á á
ááļáááááááģáááááááááļ $(x+y)^n$ á
ááááļá
$(x+y)^n = 1x^n + \frac{n}{1}x^{n-1}y^1 + \frac{n(n-1)}{1 \times 2}x^{n-2}y^2 + \dots + \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times r}x^{n-r}y^r + \dots + 1y^n$
$C(n,0)x^n + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + \dots + C(n,r)x^{n-r}y^r + \dots + C(n,n)y^n$
á á
ááļáááášáááá¸ááááááááļ á
> #### áááášáááá¸ááááááááļ
> $(x+y)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n,r)x^{n-r}y^r = C(n,0)x^n + C(n,1)x^{n-1}y^1 + C(n,2)x^{n-2}y^2 + \dots + C(n,n)y^n$ á
29
|
[11] Math - High
| 33
|
|
#### ááá áļááááááŧ
ááááááážááŊáááááḠ6 áááááá¸ááááááļááááļááááááļáááááááģáááááááááļ
$C(6,0), C(6,1), C(6,2), C(6,3), C(6,4), C(6,5), C(6,6)$ á
**á
áááážá**
```
1 5 10 10 5 1
/ \ / \ / \ / \ / \ / \
1 6 15 20 15 6 1
```
$C(6,0) \ C(6,1) \ C(6,2) \ C(6,3) \ C(6,4) \ C(6,5) \ C(6,6)$
#### áááááˇáááááˇ
1. ááááááážáááášáááá¸ááááááááļá
áŧááááááļáááááááááļáááááá á
- á. $(1+3x)^4$
- á. $(2x-y)^5$
- á. $(a+\frac{1}{a})^6$
- á. $(1+x)^n$ á
2. áááááááŊáḠ4 áááááááļáááááááļ $(x+y)^{13}$ á
### ááááááááááá
- ááááá¸áááá
áááŊáááˇá ááēááļáĸááģááááááááááááááá $\mathbb{N}$ áá
$\mathbb{R}$ á
- áááá¸áááááááá ááēááļááááá¸áááá
áááŊáááˇááááááļáááŊáá¸ááŊáá (áááá
áá¸ááŊáḠ1) áááážáášáááŊááģááááááļááááŧáá
áááŊáááá d ááŊá (á á
ááļááááááŊá $d = U_{n+1} - U_n$) á
- ááŧáááááááŊáḠn ááááááá¸áááááááá $U_n = U_1 + (n-1) \times d$ á
- ááááŧá n ááŊáááááá¸áááááááá $S_n = \frac{(U_1+U_n) \times n}{2}$ á
- áááá¸ááááá¸ááļááá ááēááļááááá¸áá
áááŊáááˇááááááŊáá¸ááŊáá (áááá
áá¸ááŊáḠ1) áááážáášáááŊááģááááááļááááģááášáá
áááŊáááá q ááá $q \ne 0$ á á
áááŊáááá q áááá á
ááļáááááááŊá áŦáááááģáááááááá¸ááááá¸ááļááá á
- ááŧáááááááŊáḠn ááááááá¸ááááá¸ááļááá $U_n = U_1 \times q^{n-1}$ á
- ááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸ááááá¸ááļááá $S_n = \frac{U_1(q^n-1)}{q-1}$ ááá $q \ne 1$ á
- ááááŧáááááá¸ááááá¸ááļáááááˇáááááá $S_n = \frac{U_1}{1-q}$ á
áááá $|q|<1$ á
- ááŧáááááááááŧáááááá¸ááááááááááļáááááļááááááá
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$, $\sum_{k=1}^{n} k^3 = [\frac{1}{2}n(n+1)]^2$ á
30
|
[11] Math - High
| 34
|
|
### ááááŧá ᥠááááááá¸áŖ
- ááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ ááá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$, $n \ge 2$ á
- ááááá¸á $(c_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ2 ááááááá¸á $(a_n)$ ááá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$, $n \ge 2$ á
- á ážáááááá¸á $(b_n)$ ááļááááááŊááááļáááḠ1 ááááááá¸á $(a_n)$ ááá $b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k$, $n \ge 2$ á
- ááááļáááááááááážáááēááļá
áááļááááááááááááŊ $a_{n+1}$ ááļáĸááģááááááááŊ $a_n$ ááááááá¸á $(a_n)$ á
- ááááļáááááááááážááááááá $a_{k+1} = pa_k + q$ (p, q ááá) ááááááááá
ááļ $a_{k+1} - c = p(a_k - c)$ áááááļáááá¸ááļááááááļáá $c = pc+q$ á
- ááááļáááááááááážááááááá $a_{n+1} = a_n + pn$ áááááááááááá¸á $(b_n)$ ááá $b_n = a_{n+1} - a_n = pn$ ááˇá $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} pk$ á
- á
áááá $n \ge 2$ ááááļá $S_n - S_{n-1} = a_n$ ááˇá $S_1 = a_1$ á
- ááááļáááááááááážáááááááá¸á $(a_n)$ áááááá $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ ááļáááá¸ááļááááááļáá $x^2 + px + q = 0$ ááááĢá $\alpha$ ááˇá $\beta$ ááááááááááááá $\alpha+\beta = -p, \alpha\beta = q$ áááááááļá $a_{n+2} - (\alpha+\beta)a_{n+1} + \alpha\beta a_n = 0$ áĸáļá
áááááááááļ
$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$
$a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta a_n)$ ááááļááááááááļáá 2 áááááēááļááááá¸ááááá¸ááļááá á
- ááááž $P(n)$ ááˇáá
áááááááááá
áááŊááááááááááļáᡠn á ážááááážááļáááááá (i) ááˇá (ii) ááˇáááē :
(i) $P(n)$ ááˇáá
áááá $n=1$
(ii) á§áááļááļ $P(n)$ ááˇáá
áááááááááá
áááŊááááááááááļáᡠ$n=k$ ááŊá
áááá áļáááļ $P(n+1)$ ááˇáá
ááááááááá $n=k+1$ á
> #### áááášáááá¸ááááááááļ
> $(x+y)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n,r)x^{n-r}y^r$
> $= C(n,0)x^n + C(n,1)x^{n-1}y^1 + \dots + C(n,r)x^{n-r}y^r + \dots + C(n,n)y^n$ á
31
|
[11] Math - High
| 35
|
|
### ááá áļáá
1. ááááļááááááļááááļá
ááááááááá $n \ge 1$; $1^2+2^2+3^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļ á
2. áááá áļáááļá
áááááááááá
áááŊáááá n
- á. á
áááŊá $4^n+2$ á
ááááļá
ááášá 3 á
- á. á
áááŊá $3^{n+3} - 4^{4n+2}$ á
ááááļá
ááášá 11 á
3. ááááļáááá¸á $(U_n)$ ááá n ááļá
áááŊáááááááááááá $U_{n+1} = \sqrt{U_n+2}$ ááˇá $U_0 = 0$ á
áááá áļáááļáááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļááļ
- á. á
áááááááááá
áááŊáááá n, $U_n \le 2$ á
- á. á
áááááááááá
áááŊáááá n, $U_n \le U_{n+1}$ á
4. áááá áļáááļáááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļááļ á
áááááááááá
áááŊááááááááááļáᡠn
$(1+x)^n \ge 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2$ á
áááááááááá
áááŊáááˇá $x \ge 0$ á
5. ááááááážáááášáááá¸ááááááááļ á
áŧááááááļáááááááááļáááááá :
- á. $(3x-1)^4$
- á. $(2x+y)^6$
- á. $(a+b)^6$ á
6. ááááááááááļáááááááááļáááááááááááááž â :
- á. $(x-y)^5$
- á. $(2x+y)^6$
- á. $(a+b)^{12}$ á
32
|
[11] Math - High
| 36
|
|
### ááááŧá ᥠááááááá¸áŖ
### ááá áļááááááŧá
1. ááááááá¸ááŊááááŧááááááá¸ááááááááááááášáááļ $S_{10} = 210$ ááˇá $S_{20} = 820$ á
2. áááášáááļááááŧáááŊáḠ1 ááˇáááŊáḠ4 ááááááá¸áááááááááááážáášá 2 ááˇáááááŧáááļááááááááļáááážáášá 20 á ááááļááááŧáááááļááá¸ááŊááááŧáááááááá¸á á
3. ááááļá $S_m$ ááˇá $S_n$ ááļááááŧá m ááŊááááŧáááˇá n ááŊááááŧááááááááļááááááá¸ááááááááááŊáááá $\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}$; ($n \ne m$) á ááļáááŊáḠm ááē $u_m$ ááˇáááŊáḠn ááē $u_n$ á áááá áļáááļ $\frac{u_m}{u_n} = \frac{2m-1}{2n-1}$ á
4. ááááļáááááá¸ááááá¸ááļááá $12, 4, \frac{4}{3}, \dots$ á
- á. ááááļááŊáḠ10
- á. áážá
áááŊá $\frac{4}{729}$ ááļááŊáá¸áááģááááļáááááááá¸á ?
- á. ááááļááááŧá 20 ááŊááááŧáááááááá¸ááááá¸ááļááá á
5. áááąáá $(U_n)$ ááļáááá¸ááááá¸ááļááá áážáááášáááļ $U_n = 2(3)^{n-1}$ á ááááļ $S_n$ á
6. ááááļááááŧáááááá¸ááááá¸ááļááá $1+2x+3x^2+\dots+(n-1)x^{n-2}+nx^{n-1}$ á
7. ááááļááŊáḠ1 ááááááá¸ááááá¸ááļááááĸááááááŊáááááļá $q = \frac{3}{5}$ ááˇá $S_\infty = 40$ á
8. áááąáááá¸á
áááŊáááļááááá¸ááááá¸ááļááá á ááááļá
áááŊáááļááááááážáááášáááļááááģáááá
áááŊáááļááááááááážáášá 3375 á ážáááááŧáááļáááážáášá 93 á
9. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸ááá¸ááŊááááļáááááá
- á. ááááá¸á $(a_n): 1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots, \frac{1}{1+2+3+4+\dots+n}$
- á. ááááá¸á $(b_n): \frac{2}{(1 \times 3)^2}, \frac{3}{(3 \times 5)^2}, \frac{4}{(5 \times 7)^2}, \dots, \frac{n}{[(2n-1)(2n+1)]^2}$ á
10. - á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $1, 2, 6, 15, 31, 56, \dots$
- á. ááááļááááŧá n ááŊááááŧáááááááá¸áááá á
11. - á. ááááļ $\sum_{k=1}^{n} (2k^2-1)$
- á. ááááááážááááŊá á. ááááļááááŧá $1+7+17+31+\dots+799$ á
12. áááááááááŧá $1+4+7+10+13+\dots+298$ áááááááž â á
33
|
[11] Math - High
| 37
|
|
13. ááááááážááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļááááļááááááļááááļ $\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 2^n - 1$ á
14. ááááļáááááá¸á $(U_n)$ ááá n ááļá
áááŊáááááááááááá $U_{n+1} = 2U_n+1$ ááˇá $U_0 = 1$ á ážáááááá¸á $(V_n)$ áááááááá $V_n = U_n+1$ á
- á. áááá áļáááļááááá¸á $(V_n)$ ááļááááá¸ááááá¸ááļááá á
- á. ááļááá $U_n$ ááļáĸááģáááááá n á
- á. ááˇááááļááļááááŧááŧááŧáááááááá¸á $(U_n)$ á
- á. á
áááááááááá
áááŊáááá n ááááļááááŧá $S_n = U_0+U_1+U_2+\dots+U_n$ á
15. ááááļáááááá¸á $(U_n)$ áááááááá $U_{n+1} = \frac{U_n+2}{U_n+1}$ ááˇá $U_0 = 2$ á
- á. ááááļ $U_1, U_2, U_3$ á
- á. áááá áļáááļá
áááááááááá
áááŊáááá n, $U_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-U_n)}{U_n+1}$ á
- á. áááá áļáááļá
áááááááááá
áááŊáááá n, $U_n > 1$ á
- á. ááļááá¸ááááŊá á. ááˇá á. ááļ $|U_{n+1} - \sqrt{2}| \le |\frac{\sqrt{2}-1}{2}| \times |U_n - \sqrt{2}|$ á
- á. áááá áļáááļáááˇá
áļááĸááģááļáááŊááááˇáááˇááááļááļ $|U_n - \sqrt{2}| \le (\frac{\sqrt{2}-1}{2})^n \times |\sqrt{2}-U_0|$ á
16. ááááļá $(a_n)$ ááááááááááááļáááááááááážá $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + n$ á
- á. ááļá $b_n = 2^n a_n$ á áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(b_n)$ á
- á. áááááááŊáḠn ááááááá¸á $(a_n)$ á
17. - á. ááááá $(x^2-2y)^7$ áááááááž â
- á. áááááááŊáḠ6 áááááááļá $(x^2-2y)^7$ á
18. áááá áļáááļááááŧááááááááááģáááááģááááááļá $(1+x)^n$ ááē $2^n$ á
19. áááá áļáááļ $C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+\dots+C(n,n-1) = C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)+\dots+C(n,n) = 2^{n-1}$ ááá $C(n,0), C(n,1), C(n,2), \dots, C(n,n)$ ááļáááááááģáááááģááááááļá $(1+x)^n$ ááá n ááļá
áááŊááááááá á
34
|
[11] Math - High
| 38
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
# ááááŧá 2
# áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧááááááááááˇááĸááģááááááááļáá¸á
![angkor_wat.png: Photo of Angkor Wat temple complex]
- **áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá**
- **áĸááģááááááááļáá¸á**
áá
ááááģáááááŧáááá ááá
áļáááááážáááˇááááļáá¸ááááááááˇáááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá áááááááļáááļááĸááģáááá áááááááļáááá¸ááļá ááˇáááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá áááááļáááááááļáááááļáááááááļááááˇááááļáá¸áááááááᡠááááļá ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļáááááļáá¸á á áááááļáááá¸áááŊáááļááááááááᡠáĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá ááˇáááááļáá¸á ááˇááááĸáļá
ááá
áááááášáááˇáááááˇááá
áááááááļáá
áááááááá áļáááááļáááááášáááļáááááļáá áááážáááááááááá
á áááážááááááļáááááá ááˇááááááļáááááááááļáá
áááááááá áļáááááááááááááŊááááááááááģááá¸áááļááááá
áļááááá á
35
|
[11] Math - High
| 39
|
|
## ááááááḠ1 áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
### 1. áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
#### 1.1 ááááļááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
áááááááļááááĸááģááááááááģááááááģáááááŊá
$f(x) = 2^x, g(x) = (1.5)^x$
$h(x) = 1^x, k(x) = (0.5)^x$ á
#### áááááģáááá
- áááááááļááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
- áááááááļáááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá á
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 1.5^x |
|---|---|
| -2 | 0.44 |
| -1 | 0.66 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1.5 |
| 2 | 2.25 |
![graph_exponential.png: Graphs of f(x)=2^x, g(x)=(1.5)^x, h(x)=1^x, and k(x)=(0.5)^x]
ááļáááááļááážááááááááážáááļ áááááááááļááááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá ááļááááļá á
áááģá
áááááļáááŧáĸááááá (0, 1) ááļááˇá
áá
á
- ááž $x>0$ ááá $(1.5)^x < 2^x$ á ááŧá
ááá ááááģáááļááááááá¸áĄ ááááļááááĸááģáááá $g(x) = (1.5)^x$ ááááˇááá
áááááááááļááááĸááģáááá $f(x) = 2^x$ á
- áĸááģáááá $h(x) = 1^x$ ááļáááááļáááļáááááļáááááááášááĸáááááĸáļááááá¸áááˇááá
áá¸áážáĸáááááĸáļááááá¸áá
áááŊá 1 á¯áááļ á
áááááááááááááá x á
36
|
[11] Math - High
| 40
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
- ááž $x>0$ ááá $(0.5)^x < 1$ á ááŧá
ááá ááž x ááááááááážááááĄážáá ááá $k(x) = 0.5^x$ ááļááááááá
áģáááŧá
áá
á á ážáááˇááá
áá 0 á
- ááž $x<0$ ááá $(0.5)^x$ ááļáááááááááĄážááááááļáááááá á
**ááļááŧáá
**
áĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá $y=a^x$ ááļáááááļá :
- ááž $a>1$ ááááļááá $y=a^x$ áážááá¸ááááááá
ááááļá ááááļ $y=a^x$ ááļáĸááģáááááážá
- ááž $0<a<1$ ááááļááá $y=a^x$ á
áģááá¸ááááááá
ááááļá ááááļ $y=a^x$ ááļáĸááģááááá
áģá
- áĸááģáááá $y=a^x$ ááˇáááááļáááļááˇá
áá
á
ááááááááá $x \in \mathbb{R}$ ááž a ááļá
áááŊáááˇáááˇáááááļáááˇáááģááḠ1
- ááááļááááĸááģáááá $y=a^x$ ááļáááĸáááááĸáááááááááá (0,1) ááļááˇá
áá
á
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļá á. $y=4^x$ á. $y=(\frac{1}{4})^x$
**á
áááážá**
á. ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 4^x |
|---|---|
| -2 | 0.06 |
| -1 | 0.25 |
| 0 | 1 |
| 1 | 4 |
| 2 | 16 |
![graph_y_eq_4_pow_x.png: Graph of y=4^x]
á. ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = (1/4)^x |
|---|---|
| -2 | 16 |
| -1 | 4 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0.25 |
| 2 | 0.06 |
![graph_y_eq_one_fourth_pow_x.png: Graph of y=(1/4)^x]
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļááĸááģáááá á. $y=10^x$ á. $y=(\frac{1}{10})^x$ á
37
|
[11] Math - High
| 41
|
|
#### 1.2 ááááááááááļááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
##### á§ááļá ááá
áááááááļááááĸááģáááá
á. $y = 2^x + 1$
á. $y = 2^{x+1}$
á. $y = 2^{x-2}$
á. $y = -2^x$
**á
áááážá**
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = 2^x + 1$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 2^x | y = 2^x + 1 |
|---|---|---|
| -2 | 0.25 | 1.25 |
| -1 | 0.5 | 1.50 |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 4 | 5 |
![graph_y_eq_2_pow_x_plus_1.png: Graph of y=2^x and y=2^x+1]
ááļáááááļááááááááááážáááļ áážáááá¸áááááááļá $y = 2^x + 1$ ááááŧááááááááááļá $y = 2^x$ ááŊá
ááááˇá á
áááŊáááŊáá¯áááļáĄážááážáááááĸáááá (oy) ááááļáááááļá $y = 2^x + 1$ á
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = 2^{x+1}$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 2^x | y = 2^{x+1} |
|---|---|---|
| -2 | 0.25 | 0.5 |
| -1 | 0.5 | 1 |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 8 |
![graph_y_eq_2_pow_x_plus_1_exponent.png: Graph of y=2^x and y=2^(x+1)]
ááļáááááļá áááááááááážáááļ áážáááá¸áááááááļá $y = 2^{x+1}$ ááááŧááááááááááļá $y = 2^x$ ááŊá
ááááˇá á
áááŊáááŊáá¯áááļáá
ááļáááááááááááĸáááá (ox) ááááļáááááļá $y = 2^{x+1}$ á
38
|
[11] Math - High
| 42
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = 2^{x-2}$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 2^x | y = 2^{x-2} |
|---|---|---|
| -2 | 0.25 | 0.06 |
| -1 | 0.5 | 0.12 |
| 0 | 1 | 0.25 |
| 1 | 2 | 0.5 |
| 2 | 4 | 1 |
![graph_y_eq_2_pow_x_minus_2.png: Graph of y=2^x and y=2^(x-2)]
ááļáááááļá áááááááááážáááļ áážáááá¸áááááááļá $y = 2^{x-2}$ ááááŧááááááááááļá $y = 2^x$ ááŊá
ááááˇáá
áááŊááá¸áá¯áááļáá
ááļáááááļááááááĸáááá (ox) ááááļáááááļá $y = 2^{x-2}$ á
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = -2^x$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = 2^x | y = -2^x |
|---|---|---|
| -2 | 0.25 | -0.25 |
| -1 | 0.5 | -0.5 |
| 0 | 1 | -1 |
| 1 | 2 | -2 |
| 2 | 4 | -4 |
![graph_y_eq_neg_2_pow_x.png: Graph of y=2^x and y=-2^x]
ááļáááááļá áááááááááážáááļ ááááŧááááááááááļá $y = 2^x$ ááŊá
ááŧá ááááļáááááģáááááļ ááááášááĸáááá (ox) ááááļáááááļá $y = -2^x$ á
39
|
[11] Math - High
| 43
|
|
**ááļááŧáá
**
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = a^x + q$ ááááááŧááááááááļá $y = a^x$ ááŊá
áááážáááááááˇááááááĸáááá (oy) á
áááŊá q á¯áááļáĄážááážááž $q>0$ á ážáá
áááŊá q á¯áááļá
áģááááááááž $q<0$ á
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = a^{x-p}$ ááááááŧááááááááļá $y = a^x$ ááŊá
áááážáááááááˇááááááĸáááá (ox) á
áááŊá p á¯áááļáá
ááļáááááļáááž $p>0$ á ážá p á¯áááļáá
ááļááááááááž $p<0$ á
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = -a^x$ ááááááŧááááááááļá $y = a^x$ ááŊá
ááŧáááááļáááááģáááááášááĸáááá (ox) ááááļáááááļá $y = -a^x$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļááĸááģáááá
- á. $y = 3^x - 3$
- á. $y = 3^{x+1}$
- á. $y = 1.5^{x-2}$
- á. $y = 1.5^{x+3}$
- á. $y = -5^x$ á
### 2. ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá
#### 2.1 ááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá
ááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá ááļááá¸ááļááááááļááĸááááļá ááļááˇááááááá á
##### á§ááļá ááá
ááž $2^x = 2^4$ ááá $x=4$ á
**ááļááŧáá
**
ááž a ááļá
áááŊáááˇáááááļáááģááḠ1 ááá $a^x = a^y$ ááááļá $x=y$ á
40
|
[11] Math - High
| 44
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļáááá¸ááļá
- á. $2^{3x+5} = 128$
- á. $5^{x-3} = \frac{1}{25}$
- á. $(\frac{1}{9})^x = 81^{x+4}$
- á. $49^x = 7^{x^2-15}$
- á. $36^{2x} = 216^{x-1}$
- á
. $10^{x-1} = 100^{2x-3}$ á
**á
áááážá**
- á. $2^{3x+5} = 128 \Rightarrow 2^{3x+5} = 2^7 \Rightarrow 3x+5=7 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ á
- á. $5^{x-3} = \frac{1}{25} \Rightarrow 5^{x-3} = 5^{-2} \Rightarrow x-3=-2 \Rightarrow x=1$ á
- á. $(\frac{1}{9})^x = 81^{x+4} \Rightarrow 9^{-x} = 9^{2(x+4)} \Rightarrow -x = 2x+8 \Rightarrow x = -\frac{8}{3}$ á
- á. $49^x = 7^{x^2-15} \Rightarrow 7^{2x} = 7^{x^2-15} \Rightarrow 2x = x^2-15 \Rightarrow x=5, x=-3$ á
- á. $36^{2x} = 216^{x-1} \Rightarrow 6^{2(2x)} = 6^{3(x-1)} \Rightarrow 4x = 3x-3 \Rightarrow x=-3$ á
- á
. $10^{x-1} = 100^{2x-3} \Rightarrow 10^{x-1} = 10^{2(2x-3)} \Rightarrow x-1 = 4x-6 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$ á
#### áááááˇáááááˇ
- á. $5^x \cdot 2^{\frac{2x-1}{x+1}} = 50$
- á. $27^x + 12^x = 2 \cdot 8^x$
- á. $3^{4x+8} - 4 \cdot 3^{2x+5} + 27 = 0$
- á. $3^{2x^2-6x+3} + 6^{x^2-3x+1} = 2^{2x^2-6x+3}$ á
#### 2.2 ááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá
ááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧááááááááááļááááááá $a^x > a^y$
- ááž $a>1$ ááˇááá¸ááļá $a^x > a^y$ ááááŧá $x>y$ á ážáááˇááá¸ááļá $a^x < a^y$ ááááŧá $x<y$
- ááž $0<a<1$ ááˇááá¸ááļá $a^x > a^y$ ááááŧá $x<y$ á ážáááˇááá¸ááļá $a^x < a^y$ ááááŧá $x>y$ á
##### á§ááļá ááá
áááááááļáááˇááá¸ááļá $2^{3x+1} < \frac{1}{32}$ á
$2^{3x+1} < \frac{1}{32}$ ááˇááá¸ááļááážá
41
|
[11] Math - High
| 45
|
|
$2^{3x+1} < 2^{-5}$ ááááá $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}$ áŦ $2^{-5}$ á á áááģááá áĸáááááļáááá¸áááļááááááŧá
ááááļ á
$3x+1 < -5$ ááááááááááˇááá¸ááļááĸáˇá
áááááŧáááááááá
$3x < -6$ áá 1 áá¸áĸáááááļáááá¸á ááááļá $x < -2$ á
áááĸáááááļáááá¸ááášá 3 á
**áááááááááļáá**
áąááááááá x ááŧá
ááļá -2 ááŧá
ááļ $x=-3$
$2^{3x+1} < \frac{1}{32}$
$2^{3(-3)+1} < \frac{1}{32}$ ááááŊá x ááá -3 ááááļá $2^{-8} < \frac{1}{32}$ áááááŊá
$\frac{1}{256} < \frac{1}{32}$ ááˇá (áááážáááááá $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$)
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļáááˇááá¸ááļá
- á. $25^{2x} \le 5\sqrt{5}$
- á. $(\frac{2}{3})^{-3x} > \frac{16}{81}$
- á. $5^x > -7$
- á. $(0.1)^x > 10$
- á. $27^x \cdot 3^{1-x} < \frac{1}{3}$
- á
. $2^{9x-x^3} < 1$
- á. $(\frac{1}{3})^x + 3(\frac{1}{3})^{x+1} > 12$ á
**á
áááážá**
- á. $25^{2x} \le 5\sqrt{5} \Rightarrow 25^{2x} \le 5(5^{\frac{1}{2}}) \Rightarrow 5^{4x} \le 5^{\frac{3}{2}} \Rightarrow 4x \le \frac{3}{2} \Rightarrow x \le \frac{3}{8}$ á
- á. $(\frac{2}{3})^{-3x} > \frac{16}{81} \Rightarrow (\frac{2}{3})^{-3x} > (\frac{2}{3})^4 \Rightarrow -3x < 4 \Rightarrow x > -\frac{4}{3}$ á
- á. $5^x > -7$
$5^x$ ááˇáááááļáááļááˇá
áá
$-7$ áĸááˇáááááļáááļááˇá
áá
ááŧá
ááá ááˇááá¸ááļáááļááĢááááááááááá $x \in \mathbb{R}$ á
- á. $(0.1)^x > 10 \Rightarrow 10^{-x} > 10 \Rightarrow -x > 1 \Rightarrow x < -1$ á
- á. $27^x \cdot 3^{1-x} < \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{3x} \cdot 3^{1-x} < 3^{-1} \Rightarrow 3^{2x+1} < 3^{-1} \Rightarrow 2x+1 < -1 \Rightarrow 2x < -2 \Rightarrow x < -1$ á
- á
. $2^{9x-x^3} < 1 \Rightarrow 2^{9x-x^3} < 2^0 \Rightarrow 9x-x^3 < 0 \Rightarrow (9-x^2)x < 0 \Rightarrow -3 < x < 0$ áŦ $x > 3$ á
42
|
[11] Math - High
| 46
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
- á. $(\frac{1}{3})^x + 3(\frac{1}{3})^{x+1} > 12 \Rightarrow [(\frac{1}{3})^x]^2 + (\frac{1}{3})^x - 12 > 0$, ($x \ne 0$) á
ááļá $t = (\frac{1}{3})^x, t>0$ áážáááļá $t^2+t-12>0$
$t<-4, t>3$
ááá $t>0$ ááļááąáááĢáááááááˇááá¸ááļáááē $t>3$
áŦ $(\frac{1}{3})^x > 3 = (\frac{1}{3})^{-1}$
ááá $\frac{1}{3} < 1$ ááá $\frac{1}{x} < -1$
$-1 < x < 0$
ááŧá
ááá ááˇááá¸ááļáááļáá
áááážá $-1 < x < 0$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļáááˇááá¸ááļá
- á. $(7)^{3x+1} > 49$
- á. $(\frac{1}{5})^x < \sqrt[3]{0.04}$
- á. $3^x < \frac{1}{9\sqrt{3}}$
- á. $3^x \le -3$
- á. $(0.2)^x > 25$
- á
. $(0.1)^{4x^2-2x-2} < (0.1)^{2x-3}$ á
43
|
[11] Math - High
| 47
|
|
### ááá áļáá
1. áááááááļááááĸááģááááááļááááááááááģááááááģáááááŊá :
- á. $f(x) = 2^x; g(x) = 5^x; h(x) = 10^x$
- á. $f(x) = (\frac{1}{2})^x; g(x) = (\frac{1}{5})^x; h(x) = (\frac{1}{10})^x$ á
2. á
áŧáááááááá a áážááááááááá $f(x) = a^x$ ááļááááļáá
áááģá
áá¸ááŊááááŧá
ááļáááááá á
- á. A(3, 216)
- á. B(5, 32)
- á. C(3, 512)
- á. D(4, 256)
- á. E(-2, 64)
- á
. F(-3, $\frac{1}{216}$)
- á. G(3, 343)
- á. H($\frac{1}{3}$, 3) á
3. áááá áļáááļ ááž $f(x) = a^x$ ááá $f(x)f(y) = f(x+y)$ á
4. - á. ááž $(x_1, y_1)$ ááˇá $(x_2, y_2)$ ááļá
áááģá
áá¸ááá
áážááááááá $f(x) = a^x$ áááá
áááģá
ááļáá áá¸á $(x_1+x_2, y_1y_2)$ ááˇá $(x_1-x_2, \frac{y_1}{y_2})$ ááļá
áááģá
áá
áážááááááá á
- á. ááž $(x_1, y_1)$ ááļá
áááģá
áá¸ááá
áážááááááá $f(x) = a^x$ áááá
áááģá
ááļáááá¸á $(2x_1, y_1^2)$ ááˇá $(-x_1, \frac{1}{y_1})$ ááļá
áááģá
áá
áážááááááá $f(x) = a^x$ á
5. - á. áááááááļááááĸááģáááá $f(x) = 2^x$ á
- á. áááááááļááááĸááģáááááá¸ááŊááááááģááááááģáááááŊáááļááŊáááááļááááĸááģáááá $f(x) = 2^x$
- i). $y = f(x)-1$
- ii). $y = f(x-1)$
- iii). $y = f(x+1)$
- iv). $y = f(0.5x)$
- v). $y = f(2x)$
- vi). $y = f(-x)$ á
44
|
[11] Math - High
| 48
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĄ
6. ááž $a>0$ á á
áŧáááááááá a ááˇá x ááááááážáąááááááļá ááˇáááˇááááļáááļáááááááááááááááļáá
- á. $a^x = 1$
- á. $a^x > 1$
- á. $0 < a^x < 1$ á
7. áááááááļááááĸááģáááá
- á. $f(x) = 2^{|x|}$
- á. $f(x) = x(2^x)$
- á. $f(x) = x^x$ á
8. áááááááļááááĸááģááááááļáááááá
- á. $y = 2^{x-1}$
- á. $y = 2^{|x-1|}$
- á. $y = 2^x + 2^{-x}$
- á. $y = 2^{-x^2}$
- á. $y = 3^{-|x+1|^2}$
- á
. $y = 2^{|x^2-8|}$ á
9. áááááááļáááá¸ááļá
- á. $3^{x^2+4x} = \frac{1}{27}$
- á. $3^{5x} \cdot 9^{x^2} = 27$
- á. $4^{3x^2+2x+1} = 16$ á
45
|
[11] Math - High
| 49
|
|
## ááááááḠ2 áĸááģááááááááļáá¸á
### 1. ááááļááááĸááģááááááááļáá¸á
áĸááģááááááááļáá¸á ááļáĸááģááááá
áááļááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá á á áááģáááááááļáááááááļááááģáááááļááááášááááááļáá $y=x$ á
#### áááááģáááá
- áááááááļááááĸááģááááááááļáá¸á
- áááááááļáááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļáááááļáá¸á á
**á. áážááá a > 1**
áááááááļááááĸááģáááá $y=4^x$ ááˇá $y = \log_4 x$ á
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| y = 4^x | y = log_4 x |
|---|---|---|---|
| x | y | x | y |
| -2 | 0.06 | 0.25 | -1 |
| -1 | 0.25 | 0.50 | -0.50 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 4 | 2 | 0.50 |
| 2 | 16 | 4 | 1 |
![graph_log_4_x.png: Graph of y=4^x and y=log_4(x) showing reflection across y=x]
ááļáááááļá áážááááááááážáááļ
- ááááá x áážá ááááļááááááááááŧáááááļáá $y = \log_4 x$ áážá
- ááááļááááĸááģáááá $y = \log_4 x$ ááļáááĸáááá (ox) áááááá
áááģá
(1,0) ááļááˇá
áá
- ááááļááááĸááģáááá $y = \log_4 x$ ááˇá $y = 4^x$ ááááģáááááļááááášááááááļáá $y=x$ á
**ááļááŧáá
**
ááž $a>1$ ááááĸááģáááá $y = \log_a x$ ááļáĸááģáááááážá á
46
|
[11] Math - High
| 50
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĸ
**á. áážááá 0 < a < 1**
áááááááļááááĸááģáááá $y = (\frac{1}{4})^x$ ááˇá $y = \log_{\frac{1}{4}} x$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| y = (1/4)^x | y = log_(1/4) x |
|---|---|---|---|
| x | y | x | y |
| -2 | 16 | 0.25 | 1 |
| -1 | 4 | 0.50 | 0.50 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0.25 | 2 | -0.50 |
| 2 | 0.06 | 4 | -1 |
![graph_log_one_fourth_x.png: Graph of y=(1/4)^x and y=log_(1/4)(x) showing reflection across y=x]
ááļáááááļá áážááááááááážáááļ
- ááááá x áážá ááááļááááááááááŧáááááļáá $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ á
áģá
- ááááļááááĸááģáááá $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ ááļáááĸáááá (ox) áááááá
áááģá
(1,0)
- ááááļááááĸááģáááá $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ ááˇá $y = (\frac{1}{4})^x$ ááááģáááááļááááášááááááļáá $y=x$ á
**ááļááŧáá
**
ááž $0 < a < 1$ ááááĸááģáááá $y = \log_a x$ ááļáĸááģááááá
áģá á
**ááļáááááˇááááļá**
áĸááģáááá $y = \log_a x$ ááļáááááļá á
- ááž $a>1$ ááááļááážááá¸ááááááá
ááááļá ááááļ $y = \log_a x$ ááļáĸááģáááááážá
- ááž $0<a<1$ ááááļáá
áģááá¸ááááááá
ááááļá ááááļ $y = \log_a x$ ááļáĸááģááááá
áģá
- áĸááģáááá $y = \log_a x$ ááļáááááļáááļááááļáá
áááģá
áááááļáááŧáĸááááá (1,0) ááļááˇá
áá
- áĸááģáááá $y = \log_a x$ ááļááááááááá $x>0$ ááļááˇá
áá
- áĸááģáááá $y = \log_a x$ ááˇá $y = a^x$ ááļáĸááģááááá
áááļáááááļ á ážáááļáááááļáááááģáááááļááááášááááááļáá $y=x$ á
47
|
[11] Math - High
| 51
|
|
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļááááĸááģáááá
á. $y = \log_{10} x$
á. $y = \log_{\frac{1}{10}} x$
**á
áááážá**
á. ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = log_10 x |
|---|---|
| 1/100 | -2 |
| 1/10 | -1 |
| 1 | 0 |
| 10 | 1 |
| 100 | 2 |
![graph_log_10_x.png: Graph of y=log_10(x)]
áážááááááááážáááļ áĸááģáááá $y = \log_{10} x$ ááļáááááļááážá á
á. ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = log_(1/10) x |
|---|---|
| 1/100 | 2 |
| 1/10 | 1 |
| 1 | 0 |
| 10 | -1 |
| 100 | -2 |
![graph_log_one_tenth_x.png: Graph of y=log_(1/10)(x)]
áážááááááááážáááļ áĸááģáááá $y = \log_{\frac{1}{10}} x$ ááļáááááļáá
áģá á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļááááĸááģáááá
á. $y = \log_7 x$
á. $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ á
48
|
[11] Math - High
| 52
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĸ
### 2. ááááááááááļááááĸááģááááááááļáá¸á
áááááááļááááĸááģáááá
á. $y = -2 + \log_3 x$
á. $y = \log_3(x-2)$
á. $y = -\log_3 x$ á
**á
áááážá**
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = -2 + \log_3 x$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | log_3 x | y = -2 + log_3 x |
|---|---|---|
| 1/3 | -1 | -3 |
| 1 | 0 | -2 |
| 3 | 1 | -1 |
| 9 | 2 | 0 |
![graph_log_3_x_minus_2.png: Graph of y=log_3(x) and y=-2+log_3(x)]
áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = -2 + \log_3 x$ ááááŧááááááááááļááááĸááģáááá $y = \log_3 x$ ááŊá
ááááˇáá
áááŊá 2 á¯áááļá
áģáááááááááááĸáááá (oy) ááááļáááááļááááĸááģáááá $y = -2 + \log_3 x$ á
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = \log_3(x-2)$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = log_3(x-2) |
|---|---|
| 7/3 | -1 |
| 3 | 0 |
| 5 | 1 |
| 11 | 2 |
![graph_log_3_x_minus_2_arg.png: Graph of y=log_3(x) and y=log_3(x-2)]
áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = \log_3(x-2)$ ááááŧááááááááááļááááĸááģáááá $y = \log_3 x$ ááŊá
ááááˇáá
áááŊá 2 á¯áááļ áá
ááļáááááļááááááĸáááá (ox) ááááļáááááļááááĸááģáááá $y = \log_3(x-2)$ á
49
|
[11] Math - High
| 53
|
|
á. áááááááļááááĸááģáááá $y = -\log_3 x$
ááļááļááááááááááŧáááááļáá x ááˇá y
| x | y = -log_3 x |
|---|---|
| 1/9 | 2 |
| 1/3 | 1 |
| 1 | 0 |
| 3 | -1 |
| 9 | -2 |
![graph_neg_log_3_x.png: Graph of y=log_3(x) and y=-log_3(x)]
áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = -\log_3 x$ ááááŧááááááááááļááááĸááģáááá $y = \log_3 x$ ááŊá
ááŧáááááļáááááģáááááááļááááášááĸáááá (ox) ááááļáááááļááááĸááģáááá $y = -\log_3 x$ á
**ááļááŧáá
:**
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = \log_a x + q$ ááááááŧááááááááļá $y = \log_a x$ ááŊá
áááážáááááááˇááááááĸáááá (oy) á
áááŊá q á¯áááļáĄážááážááž $q>0$ á ážáá
áááŊá q á¯áááļ á
áģááááááááž $q<0$ á
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = \log_a(x-p)$ ááááááŧááááááááļá $y = \log_a x$ ááŊá
áááážáááááááˇááááááĸáááá (ox) á
áááŊá p á¯áááļáá
ááļáááááļáááž $p>0$ á ážá p á¯áááļáá
ááļááááááááž $p<0$ á
- áážáááá¸áááááááļááááĸááģáááá $y = -\log_a x$ ááááááŧááááááááļá $y = \log_a x$ ááŊá
ááŧáááááļáááááģáááááášááĸáááá (ox) ááááļáááááļá $y = -\log_a x$ á
50
|
[11] Math - High
| 54
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĸ
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļááááĸááģáááá
- á. $y = \log_7(x+3)$
- á. $y = \log_7 x + 3$
- á. $y = -\log_7 x$
- á. $y = \log_2(x-1)^2$
- á. $y = 2 - \log_2 x^2$ á
### 3. ááŧáááááááááŧáááá
áááášáááá¸ááááļáááááá áĸáļá
áąáááĸáááááˇááááļáĸááģááááááááļáá¸á áááážáááááļááááááŧááááááááááļáá¸ááá
ááļ áááááááááĸáļá
ááááļááļá á
ááž a, b ááˇá x ááļá
áááŊáááˇáááˇáááááļá á ážá $a \ne 1, b \ne 1$ ááááļá $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ á
**áááááļááááááļáá**
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ?
ááļá $M = \log_a x$
$a^M = x$ áááááááļáááááááĸáˇá
áááááŧáááááááá
ááááļá $\log_b a^M = \log_b x$ áážáááááļáá¸áááá b áážáĸáááááļáááá¸á
$M \log_b a = \log_b x$ ááļáááááááááááááļáá¸á
$M = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ áááááááļááá M
$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ááááŊá M ááá $\log_a x$ á
#### ááá áļááááááŧ
ááááļ
- á. $\log_9 27$
- á. $\log_{27} \frac{1}{3}$
- á. $\log_7 27$
- á. $\log_5 125$ á
**á
áááážá**
- á. $\log_9 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{\log_3 3^3}{\log_3 3^2} = \frac{3}{2}$ á
- á. $\log_{27} \frac{1}{3} = \log_{3^3} 3^{-1} = -\frac{1}{3}$ á
51
|
[11] Math - High
| 55
|
|
- á. $\log_7 27 = \frac{\log_{10} 27}{\log_{10} 7} \approx 1.6937$ á
- á. $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$ á
#### áááááˇáááááˇ
ááááļ
- á. $\log_5 625$
- á. $\log_5 346$
- á. $\log_6 4870$ á
### 4. ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļáááááļáá¸á
#### 4.1 ááá¸ááļáááááļáá¸á
ááž $a>0, a \ne 1$ áááááá¸ááļá $\log_a x = \log_a y$ ááááļá $x=y$ á
##### á§ááļá ááá 1
ááž $\log_4 x = \log_4 7$ ááá $x=7$ á
##### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááá¸ááļá $\log_4 x = \frac{5}{2}$ á
$\log_4 x = \frac{5}{2}$, $\log_4 x = \log_4 4^{\frac{5}{2}}$ áááážááŧááááá $\log_a a = 1$
$x = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}}$ ááááá $4=2^2$
$x = 2^5$ áŦ $x=32$ á
##### á§ááļá ááá 3
áááááááļáááá¸ááļá $6(\log_8 8 + \log_8 x) = 13$ á
$6(\frac{1}{\log_x 8} + \log_8 x) = 13$ áááážááŧáááááááááŧáááá $\log_b 8 = \frac{1}{\log_8 b}$
$6 + 6(\log_8 x)^2 = 13 \log_8 x$ ááááá
$6(\log_8 x)^2 - 13 \log_8 x + 6 = 0$
$(3\log_8 x - 2)(2\log_8 x - 3) = 0$
$\log_8 x = \frac{2}{3}, \log_8 x = \frac{3}{2}$
$x = 8^{\frac{2}{3}}, x = 8^{\frac{3}{2}}$
$x = 4, x = 16\sqrt{2}$ á
##### á§ááļá ááá 4
áááááááļáááá¸ááļá $\log_9 x + \log_x 9 = \frac{5}{2}$
$\log_9 x + \frac{1}{\log_9 x} = \frac{5}{2} \Rightarrow (\log_9 x)^2 + 1 = \frac{5}{2} \log_9 x$
$2(\log_9 x)^2 - 5\log_9 x + 2 = 0$
52
|
[11] Math - High
| 56
|
|
### ááááŧá áĸ ááááááḠáĸ
$(2\log_9 x - 1)(\log_9 x - 2) = 0$ ááááŧá $\log_9 x = \frac{1}{2}, \log_9 x = 2$
ááž $\log_9 x = \frac{1}{2}$ áŦ $x = 9^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x=3$
$\log_9 x = 2$ áŦ $x = 9^2 \Rightarrow x=81$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļáááá¸ááļá
- á. $\log_9 x = \frac{3}{2}$
- á. $\log_x \frac{1}{10} = -3$
- á. $\log_x 9 = 2$ á
#### 4.2 ááˇááá¸ááļáááááļáá¸á
- ááž $a>1$ áááááˇááá¸ááļá $\log_a x > \log_a y$ ááááŧá $x>y$ á ážá $\log_a x < \log_a y$ ááááŧá $x<y$ á
- ááž $0<a<1$ áááááˇááá¸ááļá $\log_a x > \log_a y$ ááááŧá $x<y$ á ážá $\log_a x < \log_a y$ ááááŧá $x>y$ á
##### á§ááļá ááá
ááž $\log_3 x > \log_3 7$ ááá $x>7$ á
ááž $\log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} 7$ ááá $x<7$ á
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļáááˇááá¸ááļáááļáááááá ááŊá
áááááááááļáá
- á. $\log_3(3x-5) > \log_3(x+7)$
- á. $\log_{\frac{1}{3}}(2x-1) \le 2$ á
**á
áááážá**
á. $\log_3(3x-5) > \log_3(x+7)$
$3x-5 > x+7$ ááááááááááˇááá¸ááļááááááĸááģááááááááļáá¸á
$2x > 12$ ááááááááŧááááááá áŦáááážáĸáááááļáááá¸áááááˇááá¸ááļá
$x > 6$ á
áááĸáááááļáááá¸ááášá 2 á
**áááááááááļáá**
$\log(3x-5)$ ááļááááááž $3x-5>0$ áŦ $x > \frac{5}{3}$
$\log(x+7)$ ááļááááááž $x+7>0$ áŦ $x > -7$
ááŧá
ááá ááˇááá¸ááļáááļáááááģáá
áááážá $x>6$ áŦ $x \in (6, +\infty)$ á
53
|
[11] Math - High
| 57
|
|
á. $\log_{\frac{1}{3}}(2x-1) \le 2$
$\log_{\frac{1}{3}}(2x-1) \le \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2$ ááááá $2 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2$ ááļáááááááááááļáá¸áááááá
$2x-1 \ge \frac{1}{9}$ ááááŧáááˇááá
áááááááááááážáášá $\frac{1}{3} < 1$
$x \ge \frac{5}{8}$ á
**áááááááááļáá**
$\log_{\frac{1}{3}}(2x-1)$ ááļááááááž $2x-1>0$ áŦ $x > \frac{1}{2}$
ááŧá
ááá ááˇááá¸ááļáááļáááááģáá
áááážá $x \ge \frac{5}{8}$ áŦ $x \in [\frac{5}{8}, +\infty)$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļáááˇááá¸ááļá
- á. $\log_5(x^2-6) > \log_5 x$
- á. $\log_{\frac{1}{5}} x < 0$
- á. $\log_x 27 \ge 3$ á
54
|
[11] Math - High
| 58
|
|
### ááá áļáá
1. ááááááĸááģááááá
áááļááááĸááģááááááļáááááá :
- á. $f(x) = 10^x$
- á. $g(x) = 3^x$
- á. $h(x) = 7^x$
- á. $f(x) = (\frac{1}{2})^x$
- á. $g(x) = (\frac{1}{5})^x$
- á
. $h(x) = (\frac{1}{10})^x$ á
2. ááááááĸááģááááá
áááļááááĸááģááááááļáááááá :
- á. $f(x) = \log x$
- á. $g(x) = \log_3 x$
- á. $h(x) = \log_5 x$
- á. $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$
- á. $g(x) = \log_{\frac{1}{4}} x$
- á
. $h(x) = \log_{2.1} x$ á
3. - á. áááááááļááááĸááģáááááĸáˇá
áááááŧáááááááá $f(x) = 5^x$
- á. áááááááļááááĸááģááááá
áááļááááááĸááģáááá $f(x) = 5^x$ ááááģááááááģáááááŊá
- á. áááááááá¸ááļááĸááģááááá
áááļááááááĸááģááááááļáááž á
4. áááááááļááááĸááģááááááļáááááá :
- á. $f(x) = \log_6 x$
- á. $g(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$
- á. $h(x) = \log_{0.8} x$ á
5. áááá áļáááļ ááž $f(x) = \log_a x$ ááá $f(xy) = f(x) + f(y)$ á
6. - á. áááá áļáááļ ááž $(x_1, y_1)$ ááˇá $(x_2, y_2)$ ááļá
áááģá
áá¸ááá
áážááááááá $y = \log_a x$ áááá
áááģá
$(\frac{x_1}{x_2}, y_1-y_2)$ ááááááˇááá
áážááááááá $y = \log_a x$ á
- á. áááá áļáááļ ááž $(x_1, y_1)$ ááļá
áááģá
áá
áážááááááá $y = \log_a x$ áááá
áááģá
$(x_1^2, 2y_1)$ ááˇáá
áááģá
$(\frac{1}{x_1}, -y_1)$ ááááááˇááá
áážááááááá $y = \log_a x$ á
55
|
[11] Math - High
| 59
|
|
7. áááąáááĸááģáááá $f(x) = a^x$ ááˇááĸááģááááá
áááļá $f^{-1}(x) = \log_a x$ ááá $a>0$ á ááááááá a áážáááá¸áąááááááááááááĸááģáááá $f(x)$ ááˇá $f^{-1}(x)$ ááļááááááļ á
8. áááąáá $f(x) = x - \log_2 x$ á ážá $g(x) = 2^x$ á
ááááļ
- á. $f(g(x))$
- á. $g(f(x))$ á
9. áááááááļáááá¸ááļáááˇááááááááááļáá
- á. $\log_2(2x+4) - \log_2(x-1) = 3$
- á. $\log_2 x + \log_4 x = 5$
- á. $\log_5 x + \log_{10} \sqrt{x} = 5$
- á. $\log(x+10) + \frac{1}{2}\log x^2 = 2 - \log 4$ á
10. ááááááá m áážáááá¸áąááááˇááá¸ááļá $1 + \log_5(x^2+1) \ge \log_5(mx^2+4x+m)$ áááááááááļááá
ááááááááá x á
11. ááááááá a áážáááá¸áąááááˇááá¸ááļá $\log_{\frac{1}{a+1}}(x^2+2) \ge 1$ ááļáááááģááĢáá
ááááááááá x á
56
|
[11] Math - High
| 60
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
# ááááŧá 3
# ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá
![pendulum_clock.png: Photo of an octagonal pendulum wall clock]
- **ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá**
áá
ááááģááááˇáááˇááááļáááááˇáááŧáááááļá áážáááļáááˇááááļáá¸ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļáááááļáá ááŧá
ááļ $\cos x = a, \sin x = a, \tan x = t, \cos x > a, \sin x < a, \dots$ á
áááááááá áážááášáááˇááááļáá¸ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļáááááááááááááááááá áááááļáááááááááá¸ááááá
ááļáááģá á
57
|
[11] Math - High
| 61
|
|
## ááááááḠ1 ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá
áážáááļáááˇááááļááŊá
ááá ážááá¸ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļáááááļáá áá
ááááģáááááá
áááˇáááˇááááļáááááˇáááŧáááááļá á ááááģááááááááááážááášáááˇááááļáá¸ááá¸ááļáááˇáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá áááááļáááááááááááááááá á
#### áááááģáááá
- áááááááļáááá¸ááļááááá¸áááááļááá
- áááááááļáááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá á
### 1. ááá¸ááļááááá¸áááááļááá
#### 1.1 ááá¸ááļáááēáááááḠ1 ááááášá sinx ááˇá cosx
ááļááá¸ááļááááá¸áááááļááááááááááááá¸áááááŊáá ážáááļáááļá : $a \cos x + b \sin x = c$ á
áááááááááļáááá¸ááļááááááļááá¸ááááá :
**áááááḠ1**
- áááááááá¸ááļááááááļááļá $\cos(x-\theta) = \frac{c}{r}$ ááá $r = \sqrt{a^2+b^2}, (r \ge 0)$ ááˇá $\cos \theta = \frac{a}{r}, \sin \theta = \frac{b}{r}$ á ááá $\cos \theta = \frac{a}{r}$ ááļááąáá $a = r \cos \theta$, $\sin \theta = \frac{b}{r}$ ááļáá˛áá $b = r \sin \theta$ á
- ááá¸ááļá $a \cos x + b \sin x = r \cos \theta \cos x + r \sin \theta \sin x = c$
$r(\cos x \cos \theta + \sin x \sin \theta) = c, r \cos(x-\theta) = c$ áŦ $\cos(x-\theta) = \frac{c}{r}$ á
- áááááááļáááá¸ááļá $\cos(x-\theta) = \frac{c}{r}$ ááļáááŧááááá $\cos x = \cos \alpha$ á
##### á§ááļá ááá 1
áááááááļáááá¸ááļá $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$ (1) á
ááááļá $r = \sqrt{1+3} = 2, \cos \theta = \frac{a}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta = \frac{b}{r} = \frac{1}{2}$ ááļááąáá $\theta = \frac{\pi}{6}$ á
ááá¸ááļá $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \cos \frac{\pi}{3} \sin x + 2 \sin \frac{\pi}{3} \cos x = 0$
$2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 0$
$2 \sin(x+\frac{\pi}{3}) = 0$ áŦ $\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 0$
58
|
[11] Math - High
| 62
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
ááá¸ááļá (1) ááļáá
áááážá : $\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 0$ ááļááąáá $x+\frac{\pi}{3} = k\pi$ á
ááŧá
ááá $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á á
áááŊáá
áģáááááŧá
áááážáááļááá¸á á
**áááááḠ2**
ááááļ $\sin x$ ááˇá $\cos x$ ááļáĸááģáááááá $t = \tan \frac{x}{2}$ ááá $x \ne \pi + 2k\pi, (k \in \mathbb{Z})$ á
ááááááŊá $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ ááˇá $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ áááááá¸ááļá $a \cos x + b \sin x = c$ áá
ááļááá¸ááļáááēáááááḠ2 áááááļá t ááļáĸááááļá : $(c+a)t^2 - 2bt + c-a = 0$ á
áááááááļáááá¸ááļáááēáááááḠ2 áááĢáááŊá
áááááááļáááá¸ááļáááļáááŧááááá $\tan \frac{x}{2} = \tan \alpha$ á
**áááááļáá**
ááˇáá¸ááááĸáļá
ááļáááĢáááááá $x = \pi + 2k\pi$ á ááŧá
ááá ááááŧáááááááŧáááˇááˇááááážáááļááž $x = \pi + 2k\pi$ ááļáĢáááááááá¸ááļá $a \cos x + b \sin x = c$ áŦáá ?
##### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááá¸ááļá $\sin x + 7 \cos x = 5$ á
ááļá $t = \tan \frac{x}{2}$ ($x \ne \pi + 2k\pi$) ááá¸ááļáááááá $\frac{2t}{1+t^2} + 7(\frac{1-t^2}{1+t^2}) = 5$
$2t + 7 - 7t^2 = 5 + 5t^2$ áŦ $6t^2 - t - 1 = 0$ á
ááá¸ááļáááļááĢá $t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = -\frac{1}{3}$ á
- ááž $t_1 = \frac{1}{2}$ ááááļá $\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ áááááļá $\alpha_1 \in \mathbb{R}$ ááá $\tan \alpha_1 = \frac{1}{2}$
ááļááąáá $\frac{x}{2} = \alpha_1 + k\pi$ áŦ $x = 2\alpha_1 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
- ááž $t_2 = -\frac{1}{3}$ ááááļá $\tan \frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$ áááááļá $\alpha_2 \in \mathbb{R}$ ááá $\tan \alpha_2 = -\frac{1}{3}$
ááááļá $\tan \frac{x}{2} = \tan \alpha_2$ ááļááąáá $\frac{x}{2} = \alpha_2 + k\pi$ áŦ $x = 2\alpha_2 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
ááŧá
ááá ááá¸ááļáááļáá
áááážá : $x = 2\alpha_1 + 2k\pi, x = 2\alpha_2 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļáááá¸ááļá $\sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2}$ (1) á
**á
áááážá**
ááááļá $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$ á ážá $r = \sqrt{1+3} = 2, \cos \theta = \frac{1}{2}, \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
ááá¸ááļáááááá $2(\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x) = \sqrt{2}$ áŦ $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4}$
ááá¸ááļá (1) ááļáá
áááážá :
$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, x = \frac{7\pi}{24} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
$2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi, x = -\frac{\pi}{24} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
á
áááŊáá
áģáááááŧá
áááážáááļá 4 á
59
|
[11] Math - High
| 63
|
|
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļáááá¸ááļá
- á. $2 \sin x - 3 \cos x = 3$
- á. $\cos 2x - \sin 2x = -1$
- á. $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 1$
- á. $\cos x - \sqrt{3} \sin x = 3$ á
#### 1.2 ááá¸ááļáááēáááááḠ2 ááááášááĸááģáááááááá¸áááááļáááááá
áááŊáááˇá x
ááá¸ááļáááļáááááááļáááļá : $a \cos^2 x + b \cos x + c = 0, a \sin^2 x + b \sin x + c = 0$
$a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$ ááˇá $a \cot^2 x + b \cot x + c = 0$ á
áážáááá¸áááááááļáááá¸ááļááááááá ááááááŧá :
- áááááááááá¸ááļááąáááá
ááļááá¸ááļáááēáááááḠ2 ááŧá
ááļááážááˇá á
- ááļááĸááģáááááááá¸áááááļáááááá
áááŊáááˇá x ááá X áŦ Y áŦ t... á
- ááļáááááááááááá
ááļááĸááģáááááááá¸áááááļáááááááąáá á
- áááááááļáááá¸ááļáááēáááááḠ2 áááááļááĸááááļá X áŦ Y áŦ t... á
- áááĢááááááļáááááááŊáááļáĸááģáááááááá¸áááááļáááááˇá ááŊá
áááááááááļááááááááááááļáááž á ážááááááááļáááļáááŧáááááááá¸ááļááááá¸áááááļááá á
##### á§ááļá ááá 1
áááááááļáááá¸ááļá $4 - \cos 2x - 7 \sin x = 0$ á
ááá $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ ááá¸ááļááĸáļá
ááááá $2 \sin^2 x - 7 \sin x + 3 = 0$ (1)
ááļá $t = \sin x$ áááááļááááááááá $-1 \le t \le 1$ á
ááá¸ááļá (1) áĸáļá
ááááá $2t^2 - 7t + 3 = 0, \Delta = 25, t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = 3$ ááˇááá
áááááááááļááááááááááááļáááž
ááŧá
ááá $t_1 = \sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$ áážáááļá $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
##### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááá¸ááļá $\tan \frac{x}{2} - (1-\sqrt{3})\tan \frac{x}{2} - \sqrt{3} = 0$ á
ááááļá $\tan \frac{x}{2} = t$ ááá¸ááļá (1) ááááá $t^2 - (1-\sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0$ áááááááļáááá¸ááļáááá
ááááļá $t_1 = -1, t_2 = \sqrt{3}$ á $t_1 = \tan \frac{x}{2} = -1 = \tan(-\frac{\pi}{4}), t_2 = \tan \frac{x}{2} = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3}$ á
60
|
[11] Math - High
| 64
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
ááŧá
ááá $\tan \frac{x}{2} = \tan(-\frac{\pi}{4}), \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi, x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$\tan \frac{x}{2} = \tan \frac{\pi}{3}, \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + k\pi, x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
ááŧá
ááá ááá¸ááļáááļáá
áááážá : $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ááˇá $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
#### ááá áļááááááŧ
áááááááļáááá¸ááļá $\frac{\cos x(2 \sin x + 3\sqrt{2}) - 2 \cos^2 x - 1}{1+\sin 2x} = 1$ á
**á
áááážá**
áááááááá $1+\sin 2x \ne 0, \sin 2x \ne -1, 2x \ne -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, x \ne -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
ááá¸ááļáááááá $\cos x(2 \sin x + 3\sqrt{2}) - 2 \cos^2 x - 1 = 1 + \sin 2x$
$2 \sin x \cos x + 3\sqrt{2} \cos x - 2 \cos^2 x - 1 = 1 + \sin 2x, 2 \cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0$
ááļá $t = \cos x$ ááá¸ááļááá
ááļ $2t^2 - 3\sqrt{2}t + 2 = 0$ á
áááááááļáááá¸ááļáááá ááááļá $t_1 = \sqrt{2}, t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ á
$t_1 = \cos x = \sqrt{2}$ (ááˇááá) á $t_2 = \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4}$ á
ááŧá
ááá $\cos x = \cos \frac{\pi}{4}$ ááļááąáá $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
ááļáááááááááááļááážááá¸ááļáááļááĢá $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
#### áááááˇáááááˇ
áááááááļáááá¸ááļá
- á. $2 \cos^2 x - 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0$
- á. $\frac{1}{\sin^2 x} = \cot x + 3$
- á. $5 \tan^2 y + 5 \tan y = 2(1+\tan^2 y)$
- á. $8 \sin^2 x - 6 \sin x = 5$ á
61
|
[11] Math - High
| 65
|
|
### 2. ááá¸ááļááááááļáááļá $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d$ ááá $a, b, c \ne 0$
áážáááá¸áááááááļáááá¸ááļáááá ááááááŧáá
áááĸáááááļáááá¸áááááá¸ááļááášá $\cos^2 x \ne 0, x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ á
ááááļáááá¸ááļá $a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$ ááŊá
áááááááļáááļáááá¸ááļáááēáááááḠ2 ááŧá
ááļáááž á
#### á§ááļá ááá 1
áááááááļáááá¸ááļá $3 \sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 6 \cos^2 x = 0$ á
á
áááĸáááááļáááá¸áááááá¸ááļááášá $\cos^2 x$ ááá¸ááļáááááá $3 \tan^2 x + 3 \tan x - 6 = 0$ á
ááļá $t = \tan x$ ááááļá $3t^2 + 3t - 6 = 0$ ááá¸ááļááááááļááĢááá¸áááē : $t_1 = 1, t_2 = -2$ á
$t_1 = \tan x = 1$ ááááļá $\tan x = \tan \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4} + k\pi; (k \in \mathbb{Z})$ á $t_2 = -2$ ááļá $\tan \alpha = -2$
$\tan x = \tan \alpha, x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á ááá¸ááļáááļáá
áááážá $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ ááˇá $x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
#### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááá¸ááļá $\frac{\sin^4 \frac{x}{2} + \cos^4 \frac{x}{2}}{1-\sin x} - \tan^2 x \sin x = \frac{1+\sin x}{2} + \tan^2 x$ á
áááááááá $\sin x \ne 1, \cos x \ne 0, x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\frac{(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})^2 - 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{2} + \tan^2 x(1+\sin x)$
$\frac{1 - \frac{1}{2} \sin^2 x}{1-\sin x} = (1+\sin x)(\frac{1}{2} + \tan^2 x)$
$\frac{1 - \frac{1}{2} \sin^2 x}{1-\sin x} = (1+\sin x)(\frac{\cos^2 x + 2 \sin^2 x}{2 \cos^2 x})$
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 x = (1-\sin^2 x)(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x}{2(1-\sin^2 x)})$
$2 - \sin^2 x = 1 + \sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{1}{2}, \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ ááļá
áááážáááááááá¸ááļá á
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááļáááá¸ááļá $3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2$ á
**á
áááážá**
ááá¸ááļáááááá $3 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0$ á
áááĸáááááļáááá¸áááááá¸ááļááášá $\cos^2 x \ne 0$ á
ááááļá $\tan^2 x + 2 \tan x - 2 = 0, \tan x = -1 \pm \sqrt{3}$ á ááļá $\tan \alpha = -1 \pm \sqrt{3}$
$\tan x = \tan \alpha, x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
62
|
[11] Math - High
| 66
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
#### ááá áļááááááŧ 2
ááááááá m áááááļááąááááá¸ááļá $1+m \cos x = m^2 - \cos^2 x$ ááļááĢá á
**á
áááážá**
ááļá $\cos x = t$ ááá $-1 \le t \le 1$ á
ááááļá $t^2 + mt + 1 - m^2 = 0$ á ááļá $f(t) = t^2 + mt + 1 - m^2$
ááá¸ááļáááļááĢáááŊááážá
ááááá $[-1, 1]$ ááļáááļ $f(-1) \times f(1) \le 0$ á
ááááļá $(1-m+1-m^2)(1+m+1-m^2) \le 0$
$(2-m-m^2)(2+m-m^2) \le 0$
$(m^2+m-2)(m^2-m-2) \le 0, -2 \le m \le -1$ áŦ $1 \le m \le 2$ (1)
ááá¸ááļáááļááĢááá¸áááž $[-1, 1]$ ááļáááļ
$\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ f(-1) > 0 \\ f(1) > 0 \\ -1 < -\frac{S}{2} < 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m^2-4(1-m^2) \ge 0 \\ 1-m+1-m^2 > 0 \\ 1+m+1-m^2 > 0 \\ -1 < -\frac{m}{2} < 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m \le -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \le m \\ -2 < m < 1 \\ -1 < m < 2 \\ -2 < m < 2 \end{cases}$
$-1 < m \le -\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5} \le m < 1$ (2)
ááļá (1) ááˇá (2) ááļááąááááá¸ááļáááļááĢáááļáááļ $-2 \le m \le -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ áŦ $\frac{2\sqrt{5}}{5} \le m \le 2$ á
#### áááááˇááááᡠ1
áááááááļáááá¸ááļáááļáááááá :
- á. $7 \cos^2 x + 6\sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^2 x + 2 = 0$
- á. $2 \cos^2 x + \cot^2 x = \frac{\sin^3 x + 1}{\sin^2 x}$
- á. $\tan^3 x + \tan^2 x - 3 \tan x = 3$
- á. $\sin^2 x + 3 \cos^2 x - 2 \sin 2x = 0$ á
#### áááááˇááááᡠ2
ááááááá m áážáááá¸áąááááá¸ááļá $\sin 4x = m \tan x$ ááļááĢá $x \ne k\pi$ á
63
|
[11] Math - High
| 67
|
|
### 3. ááááááááááá¸ááļááááá¸áááááļááá
#### á§ááļá ááá 1
áááááááļáááááááááááá¸ááļá $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{3} \\ \sin x + \sin y = 1 \end{cases}$
áááážááŧáááááááááááá¸ááááŧááá
ááļááááģá ááááļáááá¸ááļá
$\sin x + \sin y = 2 \sin(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2}) = 1$ ááá $x+y = \frac{\pi}{3}$ ááááļá $2 \sin \frac{\pi}{6} \cos(\frac{x-y}{2}) = 1$ á
ááááļá $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ ááļááąáá $\cos(\frac{x-y}{2}) = 1 = \cos 0$ ááááļá $\frac{x-y}{2} = 2k\pi$ áŦ $x-y = 4k\pi$
ááááļááááááááá $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{3} \\ x-y = 4k\pi \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ y = \frac{\pi}{6} - 2k\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$ á
ááŧá
áááááááááááááá¸ááļáááļáááŧá
áááážá $(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, y = \frac{\pi}{6} - 2k\pi), (k \in \mathbb{Z})$ á
#### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááááááááááá¸ááļá $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} & (1) \\ \tan x + \tan y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} & (2) \end{cases}$
áááááááá $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, y \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á ááá $\tan y = \cot x$ ááļáááģáááááá
ááááļá $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} & (1) \\ \tan x + \tan y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} & (2) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} \\ \tan^2 x - (\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})\tan x + 1 = 0 \end{cases}$
ááá¸ááļá $\tan^2 x - (\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})\tan x + 1 = 0$ ááļááĢááá¸áááē $t_1 = \sqrt{3}, t_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ á
ááŧá
áááááááļá $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} \\ \tan x = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3} \end{cases}$ áŦ $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} \\ \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan \frac{\pi}{6} \end{cases}$
$\begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ y = \frac{\pi}{6} - k\pi \end{cases}$ áŦ $\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ y = \frac{\pi}{3} - k\pi \end{cases}$ ($k \in \mathbb{Z}$) ááļá
áááážáááááááááááááááá¸ááļá á
#### ááá áļááááááŧ
ááááááá m áááááļááąááááááááááááá¸ááļáááļááááááááļááĢá
$\begin{cases} x-y = m & (1) \\ 2(\cos 2x + \cos 2y) - 1 - 4\cos^2 m = 0 & (2) \end{cases}$
64
|
[11] Math - High
| 68
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
**á
áááážá**
ááááļáááá¸ááļá (2) ááááá : $4 \cos(x+y) \cos(y-x) - 1 - 4\cos^2 m = 0$ ááļá (1)
ááááŊáá
áŧá
ááááļá : $4 \cos^2 m - 4 \cos(x+y) \cos m + 1 = 0, [2 \cos m - \cos(x+y)]^2 + \sin^2(x+y) = 0$
$\begin{cases} \sin(x+y) = 0 \\ \cos(x+y) = 2 \cos m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y = 2k\pi \\ \cos m = \frac{1}{2} \end{cases}$ áŦ $\begin{cases} x-y = \pi + 2k\pi \\ \cos m = -\frac{1}{2} \end{cases}$
- á
áááá $\cos m = \frac{1}{2}, m = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ááá $\cos(x+y) = 1$ ááááļá
$\begin{cases} x+y = 2k\pi \\ x-y = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ y = -\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
- á
áááá $\cos m = -\frac{1}{2}, m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ááá $\cos(x+y) = -1$
ááááļááááááááá : $\begin{cases} x+y = \pi + 2k\pi \\ x-y = m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y = (2k+1)\pi \\ x-y = m \end{cases}, \begin{cases} m = \frac{m}{2} + (2k+1)\frac{\pi}{2} \\ y = -\frac{m}{2} + (2k+1)\frac{\pi}{2} \end{cases}$
ááŧá
ááá
- $m = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ááááááááááļááĢá $\begin{cases} x = \frac{m}{2} + k\pi \\ y = -\frac{m}{2} + k\pi \end{cases}$
- $m = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ááááááááááļááĢá $\begin{cases} x = \frac{m}{2} + (2k+1)\frac{\pi}{2} \\ y = -\frac{m}{2} + (2k+1)\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
#### áááááˇááááᡠ1
áááááááļáááááááááááá¸ááļá
- á. $\begin{cases} \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4} \\ x+y = \frac{5\pi}{6} \end{cases}$
- á. $\begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{4} \\ 3 \tan x = \tan y \end{cases}$
#### áááááˇááááᡠ2
áááąááááááááááááá¸ááļá $\begin{cases} \sin x \cos 2y = m^2+1 \\ \cos x \sin 2y = m \end{cases}$ á
- á. áááááļááááááá m áááááļááąááááááááááááá¸ááļáááļááĢá á
- á. áááááááļáááááááááááá¸ááļáááļáááááá m áááááááļáááá á
65
|
[11] Math - High
| 69
|
|
### 4. ááˇááá¸ááļááááá¸áááááļááá
#### 4.1 ááˇááá¸ááļááááááļáááļá $a \cos x + b \sin x > c$
##### á§ááļá ááá 1
áááááááļáááˇáá¸áááļá $\sin x - \cos x > 0$ á
ááááļá $\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x) > 0, \sqrt{2}(\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} \cos x) > 0, \sqrt{2} \sin(x-\frac{\pi}{4}) > 0$ á
$\sin(x-\frac{\pi}{4}) > 0$ ááááŧááášáá
áģáááááŧáá
áážááááááááááááááááˇáááááŊá
![unit_circle_inequality.png: Unit circle showing the solution for sin(angle)>0]
ááŧá
áááááˇááá¸ááļáááļáá
áááážá $2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi$
áŦ $\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$ á
**áááááļáá**
áážááˇááá¸ááļááááááļáááááááááļáááááááááááļááŦááˇáá¸áááļáááēáááááḠ2 ááááááŧááááááááļáááááááģááĢááááááˇááááļáááááļ á
##### á§ááļá ááá 2
áááááááļáááˇááá¸ááļá $\sin x + \frac{1}{\sin x} \ge \frac{5}{2}$ á
ááááļá $\sin x + \frac{1}{\sin x} - \frac{5}{2} \ge 0, \sin x + \frac{1}{\sin x} - \frac{5}{2} \ge 0$
$\frac{2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2}{2 \sin x} \ge 0$
$\frac{(\sin x - 2)(2 \sin x - 1)}{2 \sin x} \ge 0$ ááá $\sin x - 2 < 0$ á
ááááááááá $x \in \mathbb{R}$
ááááļá $\frac{2 \sin x - 1}{2 \sin x} \le 0$ (1)
ááˇááá¸ááļáááļáá
áááážáááģáááááļáá $\sin x \ne 0$ áŦ $x \ne k\pi$ á
ááļá $\sin x = X$ ááá $-1 \le X \le 1$ ááˇááá¸ááļá (1) áá
ááļ $\frac{2X-1}{2X} \le 0$ ááˇááááļáááááļááááļá
| X | -1 | | 0 | | 1/2 | | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2X-1 | | - | | - | 0 | + | |
| X | | - | 0 | + | | + | |
| (2X-1)/X | | + | \| | - | 0 | + | |
![unit_circle_solution.png: Unit circle showing the solution interval for sin(x)]
66
|
[11] Math - High
| 70
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
ááááļá $0 \le X \le \frac{1}{2}, 0 < X \le \frac{1}{2}, 0 < \sin x \le \frac{1}{2}$ ááááŧááášá $2k\pi < x \le \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
áŦ $\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \le x < \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ á
áģáááááŧá
áááážááá
áážááááŧáááá¸ááļááá (ááááááá) á
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááļáááˇááá¸ááļá $2 \cos 2x + \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x > 2(\sin x + \cos x)$ á
**á
áááážá**
ááááļá $2 \cos 2x + \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x > 2(\sin x + \cos x)$
$2(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin x \cos x(\sin x + \cos x) - 2(\sin x + \cos x) > 0$
$(\cos x + \sin x)[2(\cos x - \sin x) + \sin x \cos x - 2] > 0$
ááļá $f(x) = (\cos x + \sin x)[2(\cos x - \sin x) + \sin x \cos x - 2]$
ááá $f(x)$ ááļáĸááģáááááááááļáááŊá $2\pi$ ááááááĸáļá
ááˇááááļááˇááá¸ááļáááááģáá
ááááá $(0, 2\pi)$ á
ááááļá $f(x) = 0, \cos x + \sin x = 0$ (1) áŦ $2(\cos x - \sin x) + \sin x \cos x - 2 = 0$ (2)
(1) : $\tan x = -1, (x = \frac{3\pi}{4}, x = \frac{7\pi}{4})$ á
(2) ááļá $t = \cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos(x+\frac{\pi}{4})$ ááá $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$
$t^2 = 1 - 2 \sin x \cos x, \sin x \cos x = \frac{1-t^2}{2}$
(2) áĸáļá
ááááá $2t + \frac{1-t^2}{2} - 2 = 0$ áŦ $t^2 - 4t + 3 = 0$
áááááááļáááá¸ááļáááá ááááļá $t=1; t=3$ (ááˇááá)
$t=1, \sqrt{2} \cos(x+\frac{\pi}{4}) = 1, \cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4}$ á ááááļá $x=0, x = \frac{3\pi}{2}$ á
ááááļááááááļááŧá
ááļáááááá
| x | 0 | | $\frac{3\pi}{4}$ | | $\frac{3\pi}{2}$ | | $\frac{7\pi}{4}$ | | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | | 0 | + | 0 | | + | 0 | |
ááŧá
ááá ááˇááá¸ááļáááļáááááģáá
áááážá $\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ áŦ
$\frac{7\pi}{4} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi; (k \in \mathbb{Z})$ á
67
|
[11] Math - High
| 71
|
|
#### ááá áļááááááŧ 2
áááá áļáááļááááģááááá¸ááá ABC ááááļá $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$
**á
áááážá**
ááááļá $\frac{3}{2} - (\cos A + \cos B + \cos A) = \frac{1}{2}[3-2(\cos A + \cos B + \cos C)]$
$= \frac{1}{2}[1-4 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2 - 2 \cos C]$
$= \frac{1}{2}[1-4 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2(1-\cos C)]$
$= \frac{1}{2}[1-4 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 4 \sin^2 \frac{C}{2}]$
$= \frac{1}{2}[1-4 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 4 \sin^2 \frac{C}{2}]$
ááááá $\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$
$= \frac{1}{2}[(2 \sin \frac{C}{2} - \cos \frac{A-B}{2})^2 + 1 - \cos^2 \frac{A-B}{2}]$
$= \frac{1}{2}[(2 \sin \frac{C}{2} - \cos \frac{A-B}{2})^2 + \sin^2 \frac{A-B}{2}] \ge 0$ á
ááŧá
ááá $\frac{3}{2} \ge \cos A + \cos B + \cos C$ áŦ $\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$ á
#### áááááˇááááᡠ1
áááááááļáááˇááá¸ááļáááļáááááá :
- á. $\sin x + \cos x > \cos \frac{\pi}{6}$
- á. $\frac{2 \cos x - 5 \sin x}{\cos x} > 0$
- á. $\frac{\cos x}{1-3 \cos x} < \frac{1-\cos x}{1-9 \cos^2 x}$
- á. $2 \sin^2(x+\frac{\pi}{4}) + \sqrt{3} \cos 2x > 0$ á
#### áááááˇááááᡠ2
áááá áļáááļááááģááááá¸ááá ABC ááááļá $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \le \frac{9}{4}$ á
68
|
[11] Math - High
| 72
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
## ááááááááááá
áážáááá¸áááááááļáááá¸ááļá $a \cos x + b \sin x = c$ ááááļááá¸ááááá :
1. áááááááááá¸ááļááááááļááļá $\cos(x-\theta) = \frac{c}{r}$ ááá $r = \sqrt{a^2+b^2}, (r \ge 0)$ ááˇá $\cos \theta = \frac{a}{r}$, $\sin \theta = \frac{b}{r}$ ááŊá
áááááááļáááá¸ááļá $\cos(x-\theta) = \frac{c}{r}$ ááļáááŧááááá $\cos x = \cos a$ á
2. ááááļ $\sin x$ ááˇá $\cos x$ ááļáĸááģáááááá $\tan \frac{x}{2} (x \ne \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z})$ á
ááááááŊá $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ ááˇá $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ áááááá¸ááļá $a \cos x + b \sin x = c$ áá
ááļ
ááá¸ááļáááēáááááḠ2 áááááļá t ááļáĸááááļá : $(c+a)t^2 - 2bt + c-a = 0$ á áááĢáááá¸ááļáááēáááááá¸2
ááŊá
áááááááļáááá¸ááļáááļáááŧááááá $\tan \frac{x}{2} = \tan a$ á
áážáááá¸áááááááļáááá¸ááļá : $a \cos^2 x + b \cos x + c = 0, a \sin^2 x + b \sin x + c = 0$
$a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$ ááˇá $a \cot^2 x + b \cot x + c = 0$ ááááááŧá :
- áááááááááá¸ááļááąáááá
ááļááá¸ááļáááēáááááá¸2 ááŧá
ááļááážááˇá
- ááļááĸááģáááááááá¸áááááļáááááá
áááŊáááˇá x ááá X áŦ Y áŦ t...
- ááļáááááááááááá
ááļááĸááģáááááááá¸áááááļáááááááąáá
- áááááááļáááá¸ááļáááēáááááḠ2 áááááļááĸááááļá X áŦ Y áŦ t...
- áááĢááááááļáááááááŊáááļáĸááģáááááááá¸áááááļáááááˇá ááŊá
áááááááááļááááááááááááļáááž
á ážááááááááļáááļáááŧáááááááá¸ááļááááá¸áááááļááá á
áážáááá¸áááááááļáááˇááá¸ááļááááááļááááááá $a \cos x + b \sin x < c$ áŦ $a \cos x + b \sin x > c,...$ ááááááŧá :
- ááááááĸááááḠ1 ááááˇááá¸ááļááąááááļáááļá $\cos(x-\theta)$ áŦ $\sin(x-\theta)$
- áááááááļáááˇááá¸ááļá $\cos(x-\theta) > \cos a$ áŦ $\sin(x-\theta) < \sin a,...$
ááļááááááááááááļáááˇááá¸ááļá $\cos x > a$ áŦ $\sin x < a$ á
áážááˇááá¸ááļááááááļáááááááááļáááááááááááļá áŦááˇááá¸ááļáááēáááááḠ2 ááááááŧááááááááļááá
ááááģááĢááááááˇááááļáááááļ á
69
|
[11] Math - High
| 73
|
|
## = ááá áļáá
1. áááááááļáááá¸ááļáááļáááááá á
- á. $\cos x + \sqrt{3} \sin x = \cos 3x$
- á. $\sin 3x + 2 \cos x - 2 = 0$
- á. $\sin 2x + \tan x = 2$
- á. $\sin 5x + \cos 5x = \sqrt{2} \cos 13x$
- á. $6 \sin x - 2 \cos^3 x = 5 \sin 2x \cos x$
- á
. $\sqrt{5} \cos x - \cos 2x + 2 \sin x = 0$ á
2. áááááááļáááá¸ááļáááļáááááá á
- á. $1 + \cot^2 2x = \frac{1-\cos 2x}{\sin^2 2x}$
- á. $\cos^4 x + \sin^4 x = \frac{7}{16}$
- á. $(1-\tan x)(1+\sin 2x) = 1 + \tan x$
- á. $3 \sin 3x - \sqrt{3} \cos 9x = 1 + 4 \sin^3 3x$
- á. $1 + 3 \cos x + \cos 2x = \cos 3x + 2 \sin x \sin 2x$
- á
. $\cos^4 x + \sin^6 x = \cos^2 2x$ á
3. áááąááááá¸ááļá $\cos 2x - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0$ (1) á
- á. áááááááļáááá¸ááļá (1) ááļáááļ $m = \frac{3}{2}$ á
- á. ááááááá m ááááááážáąááááá¸ááļáááļááĢá x áá
á
ááááá $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ á
4. áááááááļáááááááááááá¸ááļááááá¸áááááļáááááļáááááá á
- á. $\begin{cases} \sin(x+y) = \frac{1}{2} \\ \cos(x-y) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
- á. $\begin{cases} \sin x + \sin y = \sqrt{2} \\ \cos x + \sin y = \sqrt{2} \end{cases}$
- á. $\begin{cases} \sin(x+y) = \cos(x-y) \\ \tan x - \tan y = 1 \end{cases}$ á
70
|
[11] Math - High
| 74
|
|
### ááááŧááŖ ááááááḠáĄ
5. áááááááļáááˇááá¸ááļáááļáááááá á
- á. $\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) < \cos^2 \frac{2x}{2}$
- á. $6 \sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x > 2$
- á. $\frac{\cos x}{1+2 \cos x} > \frac{1-\cos x}{1-2 \cos x}$
- á. $\frac{1-\sin x}{1-3 \sin x} < \frac{1+\sin x}{1-9 \sin^2 x}$ á
6. áááá áļáááļ
- á. $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \ge \frac{1}{2}$
- á. $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha \ge \frac{1}{4}$
- á. $\sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha \ge \frac{1}{8}$ á
7. áááá áļáááļááááģá $\triangle ABC$ ááááļá : $\sin \frac{A}{2} \cdot \sin \frac{B}{2} \cdot \sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{8}$ á
8. áááá áļáááļ $\triangle ABC$ áááááááááááááááá á $\tan A \tan B \tan^2 \frac{C}{2} = 1$ ááļáááá¸ááááááááááļá á
## ááá áļááááááŧá
1. áááááááļáááá¸ááļáááļáááááá á
- á. $2 \cos 3x + \sqrt{3} \sin x + \cos x = 0$
- á. $\sin^6 x + \cos^8 x = 2(\sin^8 x + \cos^8 x)$
- á. $\frac{\sin 5x}{5 \sin x} = 1$
- á. $\sin^2 x + \sin^2 3x = \cos^2 2x + \cos^2 4x$
- á. $\cos^3 x + \frac{3}{4} \sin 2x - 2 \cos x = 0$
- á
. $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0$ á
71
|
[11] Math - High
| 75
|
|
2. áááááááļáááˇááá¸ááļáááļáááááá á
- á. $2 \cos^2 x - \cos x + 1 \le 0$ ááááģá $[0, \pi]$
- á. $\frac{2 \sin^2 x - \sin x - 1}{\sin x} > 0$ ááááģá $[0, \pi]$
- á. $\frac{\sin x - \cos x + 1}{\sin x + \cos x - 1} > 0$ á
3.
- á. áááááļááááááá $(x+\frac{1}{x})(x-8)(x-1)$ á
- á. áááááááļáááá¸ááļá $2 \sin^3 2x - 17 \sin^2 x + 7 \sin x + 8 = 0$ á
4. áááąááááá¸ááļá $\cos 2x - (2m+1)\cos x + m + 1 = 0$ (1) á
- á. áááááááļáááá¸ááļá (1) ááļáááļ $m=1$
- á. ááááááá m ááááááážáąááááá¸ááļáááļááĢááá
á
ááááá $[0, \pi]$ á
5. ááááļáááˇááá¸ááļá (E) : $2 \sin^2 x - 5 \sin x + 2 > 0$ á
ááááļá $X = \sin x$ ááˇááá¸ááļáááááá $2X^2 - 5X + 2 > 0$ á
- á. ááļááááļááááģááááááļáááááá $2x^2 - 5x + 2$ á
- á. áááá áļáááļááˇááá¸ááļá (E) áááááááļááļá $2(\sin x - 2)(\sin x - \frac{1}{2}) > 0$ á
- á. ááˇááááļáááááļ $(\sin x - 2)(\sin x - \frac{1}{2})$ áá
áážá
ááááá $[0, 2\pi]$ á
- á. ááááááģáá
áááážáááááˇááá¸ááļá (E) á
6. áááááááļáááááááááááá¸ááļááááá¸áááááļáááááļáááááá á
- á. $\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{3}{2} \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{5}{4} \end{cases}$
- á. $\begin{cases} \cos^3 x - \cos x + \sin y = 0 \\ \sin^3 x - \sin y + \cos x = 0 \end{cases}$
- á. $\begin{cases} \frac{1-\tan x}{1+\tan x} = \tan y \\ x-y = \frac{\pi}{6} \end{cases}$ á
7. ááááļá $\triangle ABC$ áááááļáááģá ááˇáááááģáááááááááááááá $\frac{1+\cos A}{1+\cos B} = \frac{2a+c}{2a-c}$ á
áááá áļáááļ $\triangle ABC$ ááļáááá¸áááááááļá á
8. ááģá A, B, C áá $\triangle ABC$ ááŊáááļá $\frac{A+C}{2} = B$ á
áááááááļááááģááááááá¸áááááááážáááášáááļ $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$ á
72
|
[11] Math - High
| 76
|
|
### ááááŧá ᤠááááááḠáĄ
# ááááŧá 4 ááááááá¸áááĸááá
TAKAKAZU SEKI
## â ááááááá¸áááĸááá
áĸááááááááļááąááááļáááááááááˇáááļáááá¸áááģááá ááē Arthur Cayley (1875-1921) á ááļáááˇá ááááááá¸áááááļááážááĄážáááģááááļáááá¸á á ážáááļáááááááá
ááááģáá
áááážáááŧáá
ááááááááááááá¸ááļááá¸áááĸááá á áážááááážáááááááááá¸áááááááŧáááļááááááááá Leibniz áá
ááááļá 1678 áááááááááááá
ááááģáááááááááááģá TAKAKAZU SEKI ááļááááááá
ááááļááááááááááážáááá áļáááááááģáááááļá 1680 á
áá
á
áģááááááááḠ19 Cayley, Jame Syluester and Ferdinand Frobenius ááļáááˇááááļáááášáááá¸áááļáááá¸á ááˇáááááááá¸ááááááļáááá¸ááááá
á áááááļáááļááá¸áá
áááážáááááģááá¸ááááˇááá¸áááĸááá áááļáááá¸áááááŧáááļááááááá
áááááááļáááááģáááááááá¸áááĸááá áŦáĸááģáááááá¸áááĸááá á ážáááááááļáááļááááááááˇááááļááááááģááááášáááá¸áá¸ááááˇááá¸áááĸááá á
73
|
[11] Math - High
| 77
|
|
### ááááááḠ1 ááááááá¸áááĸááá
## 1. ááááááá¸áááĸááá
### 1.1 áááááļá
áážáááááļáááááááŊá
ááá ážáááŧááááááá
áááģá
ááŊáá
áááŊááá
ááááģáááááá á
**á§ááļá ááá** áážáááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
ááļ $M'(x', y')$ ááļáááááá H áááááļáááá
áˇá O ááˇáááááá 4 áááááááļáááá¸ááļá
$x' = 4x$
$y' = 4y$
ááá¸ááļááááááááá
áļááááááááááááááááá á
ááļááá¸ááļáááēáááááḠ1 áŦá á
ááļááá¸ááļááá¸áááĸááá á
ááááģááááá¸ááá ááááļáááááá
áļááááļááááááá¸áááĸááá á
**ááļááŧáá
** ááááááá¸áááĸáááááááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$
ááááááááááá¸ááļá
$x' = ax + cy$
$y' = bx + dy$
áážáááá¸ááļáááááŊáááˇááááļáá
ááģá áááĸáļá
ááááááļáááááááá¸áááĸááááąááááļáááááááááļáááļáááá¸á
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ á
ááááģááááá¸áááááááļ $A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááļáááļáááá¸áááááááááá¸áááĸááá á
á
áááģá
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ ááļááŧáááļááá $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ááļáááááááá¸áááĸááá A á
**áááááģáááá**
- ááááááļáááááááá¸áááĸáááááļáááļáááá¸á
- áááááááŧáááļáááļáááááááá¸áááĸááá
- áááááááŧáááļáááļáááááááá¸áááĸááááááááļáá
- áááááááŧáááļáááļáááááááá¸áááĸááááááááļááááááģááááá¸áááááļááá á
74
|
[11] Math - High
| 78
|
|
### ááááŧá ᤠááááááḠáĄ
áááĸáļá
ááááļ $x', y'$ ááļááááááááģááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááˇá $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ááŊá
áááášáááŊáááļáááá¸ááááĸááááḠ1 ááˇáááŊáááļáááá¸ááááĸááááḠ2 á
**áááááļáá**
áážáááá¸áááááŊáááááģáááááá áááĸáļá
áááážáĸáááá A ááááááááááááļáááááááļááááļááļáááļáááá¸ááá ááˇáááļááááááá¸áááĸááááá á
#### á§ááļá ááá 1
ááŧáááļáááá
áááģá
$(2, \frac{1}{2})$ ááļáááááá $A = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ ááē
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \times 2 + 1 \times \frac{1}{2} \\ 4 \times 2 + 3 \times \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{19}{2} \end{bmatrix}$
ááŧá
ááá ááŧáááļááá $(2, \frac{1}{2})$ ááē $(-\frac{1}{2}, \frac{19}{2})$ á
á
ááááááááááá¸áááĸááááááááļááááļáááá¸á $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ááŧáááļáááļááē
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+0 \\ 0+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ á
áááááááááážáááļ ááŧáááļááá $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ ááááŊááážááļááážá $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ á
ááááļ I ááļááááááá¸áááĸááááááá á ááļááááááļá
áááģá
ááááááááááá I áá
ááááļá
áááģá
ááááááá á
#### á§ááļá ááá 2
ááŧáááļáááá
áááģá
$(-\frac{1}{2}, 3)$ ááļá $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ááē
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ 3 \end{bmatrix}$ á
ááŧá
ááá $x' = -\frac{1}{2}, y' = 3$ á
75
|
[11] Math - High
| 79
|
|
#### ááá áļááááááŧ 1
áááá áļáááļ áážáááļáááá¸á A áááááá
áááģá
$M \ne 0$ áá
ááááļá
áááģá
M áááá ááááááļáááá¸á $A = I$ á
**á
áááážá**
ááļá $A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááļáááļáááá¸ááááááááá $M(x, y)$ áá
$M(x, y)$ áááá
áážáááļá $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ áŦ $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+cy \\ bx+dy \end{bmatrix}$
áážáááļá
$x = ax+cy$
$y = bx+dy$
$x(1-a) - cy = 0$ (1)
$y(1-d) - bx = 0$ (2) á
ááá $M \ne 0$ ááá $x \ne 0, y \ne 0$ á ážáááá¸ááļá (1) ááˇá (2) áááááááááļáá
ááģáááááļ $\begin{cases} 1-a=0 \\ c=0 \end{cases}$ ááˇá $\begin{cases} 1-d=0 \\ b=0 \end{cases}$ ááļááąáá $\begin{cases} a=1; b=0 \\ c=0; d=1 \end{cases}$
áážáááļá $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ á
#### ááá áļááááááŧ 2
ááááááááļáááá¸á A áááááááááá¸á
áááģá
(1, 2) áá
á
áááģá
(8, 1) ááˇáááááááá¸á
áááģá
(-1, 1) áá
(1, 2) á
**á
áááážá**
ááļá $A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááļáááļáááá¸áááááááá¸á
áááģá
(1, 2) áá
á
áááģá
(8, 1) ááááážáááļá
$\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
áážáááļáááá¸ááļá
$a+2c = 8$ (1)
$b+2d = 1$ (2)
$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
áážáááļáááá¸ááļá
$-a+c = 1$ (3)
$-b+d = 2$ (4)
áááááááļáááááááááááá¸ááļá (1) ááˇá (3) áážáááļá $a=2, c=3$ á
76
|
[11] Math - High
| 80
|
|
### ááááŧá ᤠááááááḠáĄ
áááááááļáááááááááááá¸ááļá (2) ááˇá (4) áážáááļá $b = -1, d = 1$ á
ááŧá
ááá áááļáááá¸ááááááááŧáááááē $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ á
#### áááááˇáááááˇ
1. áááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$ ááļááááļáááá¸á A ááá
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha, y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$ á ááááááááļáááá¸á A á
2. ááááá $\alpha$ áážáááá¸áąááá
áááģá
M' ááááŊáááž M á
### 1.2 á
áááģá
áĨáááááááááŊá
#### á§ááļá ááá
áááááááŧáááļáááá
áááģá
$P(3, 2)$ ááˇá $Q(5, 2)$ áááááááááááááááááá¸áááĸáá $A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$ á
ááļááááááļááááŧáááļááá P áááááááá :
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 3 - 5 \times 2 \\ 2 \times 3 - 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix}$ ááŧá
ááá $P'(-1, -2)$ á
ááŧáááļááá Q áááááááá :
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 5 - 5 \times 2 \\ 2 \times 5 - 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix}$ ááŧá
ááá $Q'(5, 2)$ á
ááļáááááá A ááŧáááļá $P(3, 2)$ ááē $P'(-1, -2)$ á ážá $Q(5, 2)$ ááē $Q'(5, 2)$ ááá
áááááááááážáááļ á
áááģá
Q ááˇáááááļááááááŧááá¸ááļáááá
ááļá A ááááá áááááááŧáááļáááááááļ
Q' áá
ááááļá
áááģá
Q áááá á
ááááģááááá¸ááá ááááļ Q ááļá
áááģá
áĨáááááááááŊáááļáááááá A á
**ááļááŧáá
** Q ááļá
áááģá
áĨáááááááááŊáááļáááááá A ááļáááļ $A(Q) = Q$ á
- á
áááááááááá
áļáá $H(0, k)$ áááááááá $x' = kx, y' = ky$ á
- ááá O ááēááļá
áááģá
áĨáááááááááŊá á ááááá $O(0, 0)$ áááááááŧáááļá $O(0, 0)$ áááá á
- á
ááááááááááááááļááááļáááá¸áá¯áááļ I ááē $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ á
77
|
[11] Math - High
| 81
|
|
áááááá
áááģá
áááááááááááááááááļá I áá
ááááļá
áááģá
ááááŊáá¯ááááá á
ááááá $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ á
#### ááá áļááááááŧ 1
áááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$ áááááááá
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}$ á
áááááá
áááģá
áĨáááááááááŊá á
**á
áááážá**
ááž $M(x, y)$ ááļá
áááģá
áĨáááááááááŊá ááģáááááļáá $x' = x, y' = y$
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x-y+3 \\ 3x+4y-3 \end{bmatrix}$
áážáááļááááááááá $\begin{cases} 2x-y+3 = x \\ 3x+4y-3 = y \end{cases}$ áŦ $\begin{cases} x-y = -3 \\ 3x+3y = 3 \end{cases}$
áááááááļááááááááá áážáááļá $x = -1, y = 2$ á
ááŧá
ááá á
áááģá
áĨáááááááááŊáááē $(-1, 2)$ á
#### ááá áļááááááŧ 2
áááá áļáááļáááááļáá $y = 2x-1$ áááááááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ ááļáááŧáááļáááááŊáá¯ááááá á
**á
áááážá**
áá $M(x, y)$ ááááááá
$M'(x', y')$ ááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ ááááážáááļá
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ á
ááž M ááļá
áááģá
ááŊááááááááļáá $y = 2x-1$ ááá M ááļáááŧáĸááááá $(a, 2a-1)$ á
ááŧá
ááá $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ 2a-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3a-2a+1 \\ 4a-2a+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+1 \\ 2a+1 \end{bmatrix}$ á
ááááážáááļá $x' = a+1, y' = 2a+1$ á
áááááááļáá a áážáááļá $y' = 2x' - 1$ áááááļááŧáááļááááááááļáá $y = 2x-1$ á
áááááļáááážá ááˇáááŧáááļáááļááļáááá¸ááļáááŧá
ááááļááē $y = 2x-1$ á
78
|
[11] Math - High
| 82
|
|
### ááááŧá ᤠááááááḠáĄ
#### áááááˇáááááˇ
1. áááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$ áááááááá
- á. $x' = 2y-3, y' = x+1$
- á. $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ á
áááááá
áááģá
áĨáááááááááŊá á
2. áááá áļáááļáááááļáá $y = 2x-3$ áááááááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ ááļáááŧáááļáááááŊáá¯ááááá á
3. ááá
áááģá
áĨáááááááááŊáááļáááááá $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ á
4. ááá
áááģá
áĨáááááááááŊáááļáááááá $\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ á
### 1.3 ááááááá¸áááĸááá
áááļá
#### á§ááļá ááá 1
áááááááá
áááģá
$M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$ ááļááááááá
áļáááááááļááááļáááá¸á
$H = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ ááá $k \ne 0$ á
ááááļá $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx \\ ky \end{bmatrix}$ ááļááąááááááļá $x' = kx, y' = ky$
ááááļ M' ááļááŧáááļááá M ááļáááááá H á
áĨáĄáŧáááá áááá M ááļááŧáááļááá M' ááˇá á ážáááááģááááá¸áááááááááŧáááááļ x, y ááļáĸááģáááááá x' ááˇá y' á
ááááļá $x = \frac{1}{k}x'$ ááˇá $y = \frac{1}{k}y'$ ááááááļáááá¸ááļááááááļáááļáááá¸á ááē
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ áááááááļ M ááļááŧáááļááá M' ááļááááááá
áļáá H á
ááááááááááááá
áļáááá H ááá $H^{-1}$ áááááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}$ á
79
|
[11] Math - High
| 83
|
|
ááŧá
ááá $H^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}$ ááļáááļáááá¸áá
áááļááá $H = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ á
**ááļááŧáá
**
ááááááá $M(x, y)$ áá
$M'(x', y')$ ááļáááááá $A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááá
$M' = A(M)$ áŦ $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ ááļááąáá $x' = ax+cy, y' = bx+dy$ á
áážáááá¸ááááááááááá
áááļá $A^{-1}$ áááááááá $M'(x', y')$ áá
$M(x, y)$ ááˇáááá ááááááŧá
ááááļ $(x, y)$ ááļáĸááģáááááá $(x', y')$ á
$\begin{cases} ax+cy = x' \\ bx+dy = y' \end{cases}$ áŦ $\begin{cases} adx+cdy = dx' \\ -bcx-cdy = -cy' \end{cases}$ ááááŧá
$(ad-bc)x = dx' - cy'$ ááááģááááḠ$ad-bc \ne 0$ ááļááąááááááļá
$x = \frac{1}{ad-bc}(dx'-cy'), y = \frac{1}{ad-bc}(-bx'+ay')$
ááááááļáááļáááļáááá¸á ááááļá
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ áŦ $M = A^{-1}(M')$ á
ááááļ $A^{-1}$ ááļáááááá
áááļááááááļááááļáááá¸áá
áááļá $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}$ ááá $ad-bc \ne 0$ á
| á áááģááá áááļáááá¸áá
áááļááá $A = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ ááē $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}$ ááá $ad-bc \ne 0$ á |
|---|
#### ááá áļááááááŧ 1
L ááļáááááļáááááááļáááá¸ááļá $x+3y-3=0$ á
ááááááļáááá¸áá L ááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ á
**á
áááážá**
ááļá L' ááļááááļáááá¸áá $L: x+3y-3=0$ ááļááááļáááá¸á $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ á
80
|
[11] Math - High
| 84
|
|
### ááááŧá ᤠááááááḠáĄ
áážáááá¸ááááá L' ááááááŧáááá
áááģá
A', B' áááááļááŧáááļááááááááļááááá
áááģá
A, B áááááááļáá L á ážáááááļáááá¸áá L ááēááļáááááļáááááááļááááļáá
áááģá
A', B' á
áááá $A(0, 1)$ ááˇá $B(3, 0)$ ááļá
áááģá
áá L áááááááļá
ááŧáááļááá A' áááááááá $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$
ááļááąáá $A'(-1, 4)$ á
ááŧáááļááá B' ááē $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$
ááļááąáá $B'(3, 6)$ á
ááŧá
ááá áááááļáá L' ááļááááļááá¸áá
áááģá
A' ááˇá B' ááááááááááá¸ááļá : $L': x-2y+9=0$ á
![graph_of_line_transformation.png: Graph showing line L and its transformation L']
**ááļááŧáá
** áážáááá¸áááááááŧáááļááááááááļáá L ááááááŧáááááļ x, y ááļáĸááģáááááá x', y' ááŊá
áááá
ááááŊáááááģáááá¸ááļá $L: x+3y-3=0$ á
ááž $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ááá $A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4x'+y' \\ -2x'+y' \end{bmatrix}$
áážáááļá $x = \frac{4x'+y'}{6}, y = \frac{-2x'+y'}{6}$
ááááŊáááááģáááá¸ááļááááááļáá L: $\frac{4x'+y'}{6} + 3(\frac{-2x'+y'}{6}) - 3 = 0$ áŦ $x'-2y'+9=0$ á
ááŧá
ááá áááááļáá $L: x+3y-3=0$ ááááļáááá¸áááááļáá $L': x-2y+9=0$ á
#### ááá áļááááááŧ 2
áááááááŧáááļááááááááá $C: x^2+y^2=4$ ááļá $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ á
81
|
[11] Math - High
| 85
|
End of preview. Expand
in Data Studio
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 2